Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse an und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang

Setze $x=0$ in $f(x)=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot \sqrt{6-x}$ ein:

$f(0)=\mathrm{0,25}\cdot (0+6)\cdot \sqrt{6-0}=\mathrm{0,25}\cdot 6\cdot \sqrt{6}\approx \mathrm{3,67}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse sind $(0|\mathrm{3,67})$.

Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang

Das Netz wird in einer Höhe von $\mathrm{3,67}-\mathrm{1,55}=\mathrm{2,12}\mathrm{m}$ bei diesem Schlag überquert.

Begründe, dass der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte $B$ auf dem Boden auftrifft, wenn die Flugbahn nicht unterbrochen wird

Es ist $f(x)=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot \sqrt{6-x}$.

Die Flugbahn trifft bei $x=6$ auf dem Boden, denn $f(6)=\mathrm{0,25}\cdot (6+6)\cdot \sqrt{6-6}=0$.

Die Hälfte $B$ hat eine Länge von ${\displaystyle \frac{\mathrm{13,4}}{2}}=\mathrm{6,7}\mathrm{m}$ und $6\mathrm{m}<\mathrm{6,7}\mathrm{m}$, also trifft der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte $B$ auf dem Boden.

Berechne die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle

Berechne $f(3)=\mathrm{0,25}\cdot (3+6)\cdot \sqrt{6-3}={\displaystyle \frac{9}{4}}\cdot \sqrt{3}\approx \mathrm{3,9}$.

Die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle beträgt rund $\mathrm{3,9}\mathrm{m}$.

Weise nach, dass ${\displaystyle \frac{6-3x}{8\cdot \sqrt{6-x}}}$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion $f\text{′}$ von $f$ ist

$f(x)=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot \sqrt{6-x}=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot (6-x{)}^{\frac{1}{2}}$

Benutze die Produkt- und Kettenregel.

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot (1\cdot (6-x{)}^{\frac{1}{2}}+(x+6)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\cdot (6-x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-1))$

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot (\sqrt{6-x}-{\displaystyle \frac{x+6}{2\cdot \sqrt{6-x}}})$

Bringe auf den Hauptnenner $2\cdot \sqrt{6-x}$:

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot \left({\displaystyle \frac{\sqrt{6-x}\cdot 2\cdot \sqrt{6-x}-(x+6)}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)=\mathrm{0,25}\cdot \left({\displaystyle \frac{2\cdot (6-x)-(x+6)}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)$

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot \left({\displaystyle \frac{12-2x-x-6}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot \left({\displaystyle \frac{6-3x}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)={\displaystyle \frac{6-3x}{8\cdot \sqrt{6-x}}}✓$

Ermittle $${\displaystyle \underset{x\to 6}{\lim }f\text{′}(x)}$$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang

$${\displaystyle \underset{x\to 6}{\lim }f\text{′}(x)={\displaystyle \underset{x\to 6}{\lim }{\displaystyle \frac{\stackrel{\to -12}{\overbrace{6-3x}}}{8\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{\sqrt{6-x}}}}}=-\infty }}$$

Der Federball trifft senkrecht auf den Boden auf.

Berechne die maximale Höhe

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{6-3x}{8\cdot \sqrt{6-x}}}\Rightarrow f^{\prime }(2)=0$

Für die hinreichende Bedingung für ein Extremum benutze das Vorzeichenwechselkriterium:

$f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{6-3\cdot 1}{8\cdot \sqrt{6-1}}}={\displaystyle \frac{3}{8\cdot \sqrt{5}}}>0$ und $f^{\prime }(3)={\displaystyle \frac{6-3\cdot 3}{8\cdot \sqrt{6-3}}}={\displaystyle \frac{-3}{8\cdot \sqrt{3}}}<0$

Es findet also ein Vorzeichenwechsel von $+\to -$ statt$\Rightarrow HP$.

Berechne $f(2)=\mathrm{0,25}\cdot (2+6)\cdot \sqrt{6-2}=2\cdot 2=4\Rightarrow HP(2|4)$.

Die maximale Höhe beträgt $4\mathrm{m}$.

Zeige unter Verwendung einer geeigneten Skizze, dass die Entfernung eines beliebigen Punkts $Q(x|g(x))$ auf dem Graphen von $g$ zum Punkt $N(0|\mathrm{1,55})$ durch den Term $d(x)=\sqrt{5x^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{0,2025}}$beschrieben werden kann

Für den Abstand zwischen zwei Punkten $Q(x_1|y_1)$ und $N(x_2|y_2)$ gilt:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Berechne diesen minimalen Abstand

Es ist $d(x)=\sqrt{5x^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{0,2025}}$. Wenn $d$ minimal werden soll, reicht es, den Radikanden zu untersuchen. Es ist $r(x)=5x^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{0,2025}$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $r^{\prime }(x)=0$.

$r^{\prime }(x)=10x-\mathrm{1,8}\Rightarrow 0=10x-\mathrm{1,8}\Rightarrow x=\mathrm{0,18}$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $r^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

$r^{\prime \prime }(x)=10>0\Rightarrow TP$

Berechne den Wert von $d$:

$d(\mathrm{0,18})=\sqrt{r(\mathrm{0,18})}=\sqrt{5\cdot {\mathrm{0,18}}^2-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,18}+\mathrm{0,2025}}=\sqrt{\mathrm{0,0405}}\approx \mathrm{0,201}$

Der minimale Abstand beträgt rund $\mathrm{0,201}\mathrm{m}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Ermittle für $a=2,b=5$ und $c=-2$, in welcher Entfernung zur Netzebene der Federball auf dem Boden auftrifft

Es ist $h(x)=a\cdot \sqrt{b-x}+c$. Setze $a=2,b=5$ und $c=-2$ ein.

$h(x)=2\cdot \sqrt{5-x}-2$

Berechne $h(x)=0$:

Für $a=2,b=5$ und $c=-2$, trifft der Federball in einer Entfernung von $4\mathrm{m}$ zur Netzebene auf dem Boden auf.

Ermittle, unter welchem Winkel der Federball auf dem Boden auftrifft

Gegeben $h(x)=2\cdot \sqrt{5-x}-2=2\cdot (5-x{)}^{\frac{1}{2}}-2$

Bilde mithilfe der Potenzregel und Kettenregel die 1. Ableitung von $h$:

$h^{\prime }(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (5-x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-1)=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5-x}}}$

Der Federball trifft bei $x=4$ auf den Boden auf.

$\Rightarrow h^{\prime }(4)=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5-4}}}=-1$$\Rightarrow m=-1$

$\alpha ={\tan }^{-1}(|m|)={\tan }^{-1}(1)={45}^{°}$

Der Federball trifft unter einem Winkel von ${45}^{°}$ auf dem Boden auf.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Ermittle die zugehörigen Werte von $a,b$ und $c$

Es ist $h(x)=a\cdot \sqrt{b-x}+c$$\Rightarrow h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{b-3}}}$. (analog zur Aufgabe a)

Gegeben:

"Ein Federball wird von einem Spieler in Hälfte $A$ im Abstand von $1\text{ m}$ zur Netzebene in einer Höhe von $\mathrm{2,60}\text{ m}$ geschlagen"$\Rightarrow (\mathrm{I})A(-1|\mathrm{2,60})$

"Der Ball trifft im Abstand von $3\text{ m}$ zur Netzebene in Hälfte $B$ senkrecht zum Boden auf diesem auf"$\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I})B(3|0)$ und $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})h^{\prime }(3)$ ist nicht definiert.

Setze $(\mathrm{I})$ in $h(x)$ ein:$\Rightarrow \mathrm{2,60}=a\cdot \sqrt{b-(-1)}+c\Rightarrow ({\mathrm{I}}^{\prime })\mathrm{2,60}=a\cdot \sqrt{b+1}+c$.

Setze $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ in $h(x)$ ein:$\Rightarrow (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })0=a\cdot \sqrt{b-3}+c$.

$(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})h^{\prime }(3)$ ist nicht definiert$\Rightarrow h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{b-3}}}$ ist für $b=3$ nicht definiert.

Setze $b=3$ in $({\mathrm{I}}^{\prime })$ ein$\Rightarrow \mathrm{2,60}=a\cdot \sqrt{3+1}+c\Rightarrow ({\mathrm{I}}^{\prime \prime })\mathrm{2,60}=2\cdot a+c$

Setze $b=3$ in $(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$ ein$\Rightarrow 0=a\cdot \sqrt{3-3}+c\Rightarrow 0=a\cdot 0+c\Rightarrow c=0$.

Setze $c=0$ in $({\mathrm{I}}^{\prime \prime })$ ein$\Rightarrow \mathrm{2,60}=2\cdot a\Rightarrow a=\mathrm{1,30}$

Mit $a=\mathrm{1,3}b=3$ und $c=0$ folgt $h(x)=\mathrm{1,3}\cdot \sqrt{3-x}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.