Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse an und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang

Setze $x=0$ in $f(x)=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot \sqrt{6-x}$ ein:

$f(0)=\mathrm{0,25}\cdot (0+6)\cdot \sqrt{6-0}=\mathrm{0,25}\cdot 6\cdot \sqrt{6}\approx \mathrm{3,67}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der y-Achse sind $(0|\mathrm{3,67})$.

Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang

Das Netz wird in einer Höhe von $\mathrm{3,67}-\mathrm{1,55}=\mathrm{2,12}\mathrm{m}$ bei diesem Schlag überquert.

Begründe, dass der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte $B$ auf dem Boden auftrifft, wenn die Flugbahn nicht unterbrochen wird

Es ist $f(x)=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot \sqrt{6-x}$.

Die Flugbahn trifft bei $x=6$ auf dem Boden, denn $f(6)=\mathrm{0,25}\cdot (6+6)\cdot \sqrt{6-6}=0$.

Die Hälfte $B$ hat eine Länge von ${\displaystyle \frac{\mathrm{13,4}}{2}}=\mathrm{6,7}\mathrm{m}$ und $6\mathrm{m}<\mathrm{6,7}\mathrm{m}$, also trifft der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte $B$ auf dem Boden.

Berechne die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle

Berechne $f(3)=\mathrm{0,25}\cdot (3+6)\cdot \sqrt{6-3}={\displaystyle \frac{9}{4}}\cdot \sqrt{3}\approx \mathrm{3,9}$.

Die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle beträgt rund $\mathrm{3,9}\mathrm{m}$.

Weise nach, dass ${\displaystyle \frac{6-3x}{8\cdot \sqrt{6-x}}}$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion $f\text{′}$ von $f$ ist

$f(x)=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot \sqrt{6-x}=\mathrm{0,25}\cdot (x+6)\cdot (6-x{)}^{\frac{1}{2}}$

Benutze die Produkt- und Kettenregel.

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot (1\cdot (6-x{)}^{\frac{1}{2}}+(x+6)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\cdot (6-x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-1))$

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot (\sqrt{6-x}-{\displaystyle \frac{x+6}{2\cdot \sqrt{6-x}}})$

Bringe auf den Hauptnenner $2\cdot \sqrt{6-x}$:

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot \left({\displaystyle \frac{\sqrt{6-x}\cdot 2\cdot \sqrt{6-x}-(x+6)}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)=\mathrm{0,25}\cdot \left({\displaystyle \frac{2\cdot (6-x)-(x+6)}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)$

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,25}\cdot \left({\displaystyle \frac{12-2x-x-6}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot \left({\displaystyle \frac{6-3x}{2\cdot \sqrt{6-x}}}\right)={\displaystyle \frac{6-3x}{8\cdot \sqrt{6-x}}}✓$

Ermittle $${\displaystyle \underset{x\to 6}{\lim }f\text{′}(x)}$$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang

$${\displaystyle \underset{x\to 6}{\lim }f\text{′}(x)={\displaystyle \underset{x\to 6}{\lim }{\displaystyle \frac{\stackrel{\to -12}{\overbrace{6-3x}}}{8\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{\sqrt{6-x}}}}}=-\infty }}$$

Der Federball trifft senkrecht auf den Boden auf.

Berechne die maximale Höhe

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{6-3x}{8\cdot \sqrt{6-x}}}\Rightarrow f^{\prime }(2)=0$

Für die hinreichende Bedingung für ein Extremum benutze das Vorzeichenwechselkriterium:

$f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{6-3\cdot 1}{8\cdot \sqrt{6-1}}}={\displaystyle \frac{3}{8\cdot \sqrt{5}}}>0$ und $f^{\prime }(3)={\displaystyle \frac{6-3\cdot 3}{8\cdot \sqrt{6-3}}}={\displaystyle \frac{-3}{8\cdot \sqrt{3}}}<0$

Es findet also ein Vorzeichenwechsel von $+\to -$ statt$\Rightarrow HP$.

Berechne $f(2)=\mathrm{0,25}\cdot (2+6)\cdot \sqrt{6-2}=2\cdot 2=4\Rightarrow HP(2|4)$.

Die maximale Höhe beträgt $4\mathrm{m}$.