Ermittle für $a=2,b=5$ und $c=-2$, in welcher Entfernung zur Netzebene der Federball auf dem Boden auftrifft

Es ist $h(x)=a\cdot \sqrt{b-x}+c$. Setze $a=2,b=5$ und $c=-2$ ein.

$h(x)=2\cdot \sqrt{5-x}-2$

Berechne $h(x)=0$:

Für $a=2,b=5$ und $c=-2$, trifft der Federball in einer Entfernung von $4\mathrm{m}$ zur Netzebene auf dem Boden auf.

Ermittle, unter welchem Winkel der Federball auf dem Boden auftrifft

Gegeben $h(x)=2\cdot \sqrt{5-x}-2=2\cdot (5-x{)}^{\frac{1}{2}}-2$

Bilde mithilfe der Potenzregel und Kettenregel die 1. Ableitung von $h$:

$h^{\prime }(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (5-x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-1)=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5-x}}}$

Der Federball trifft bei $x=4$ auf den Boden auf.

$\Rightarrow h^{\prime }(4)=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5-4}}}=-1$$\Rightarrow m=-1$

$\alpha ={\tan }^{-1}(|m|)={\tan }^{-1}(1)={45}^{°}$

Der Federball trifft unter einem Winkel von ${45}^{°}$ auf dem Boden auf.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Ermittle die zugehörigen Werte von $a,b$ und $c$

Es ist $h(x)=a\cdot \sqrt{b-x}+c$$\Rightarrow h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{b-3}}}$. (analog zur Aufgabe a)

Gegeben:

"Ein Federball wird von einem Spieler in Hälfte $A$ im Abstand von $1\text{ m}$ zur Netzebene in einer Höhe von $\mathrm{2,60}\text{ m}$ geschlagen"$\Rightarrow (\mathrm{I})A(-1|\mathrm{2,60})$

"Der Ball trifft im Abstand von $3\text{ m}$ zur Netzebene in Hälfte $B$ senkrecht zum Boden auf diesem auf"$\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I})B(3|0)$ und $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})h^{\prime }(3)$ ist nicht definiert.

Setze $(\mathrm{I})$ in $h(x)$ ein:$\Rightarrow \mathrm{2,60}=a\cdot \sqrt{b-(-1)}+c\Rightarrow ({\mathrm{I}}^{\prime })\mathrm{2,60}=a\cdot \sqrt{b+1}+c$.

Setze $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ in $h(x)$ ein:$\Rightarrow (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })0=a\cdot \sqrt{b-3}+c$.

$(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})h^{\prime }(3)$ ist nicht definiert$\Rightarrow h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{b-3}}}$ ist für $b=3$ nicht definiert.

Setze $b=3$ in $({\mathrm{I}}^{\prime })$ ein$\Rightarrow \mathrm{2,60}=a\cdot \sqrt{3+1}+c\Rightarrow ({\mathrm{I}}^{\prime \prime })\mathrm{2,60}=2\cdot a+c$

Setze $b=3$ in $(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$ ein$\Rightarrow 0=a\cdot \sqrt{3-3}+c\Rightarrow 0=a\cdot 0+c\Rightarrow c=0$.

Setze $c=0$ in $({\mathrm{I}}^{\prime \prime })$ ein$\Rightarrow \mathrm{2,60}=2\cdot a\Rightarrow a=\mathrm{1,30}$

Mit $a=\mathrm{1,3}b=3$ und $c=0$ folgt $h(x)=\mathrm{1,3}\cdot \sqrt{3-x}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.