Stochastik Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttlebusse ein. Die Fahrkarten für diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden $80 %$ aller gebuchten Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden $90 %$ auch tatsächlich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt dieser Anteil mit $95 %$ etwas höher.

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar
$A$ : Die Fahrkarte wird spätestens am Vortag gebucht.
$B$ : Die Fahrkarte wird benutzt.
Baumdiagramm
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Übertrage die gegebenen Werte in ein Baumdiagramm.
Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte.
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.
Gegeben:
Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte $\Rightarrow B .$
Gesucht ist dann:
$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{0,8 \cdot 0,1}{P (B)} = \frac{0,08}{P (B)}$ bzw. $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{0,2 \cdot 0,05}{P (B)} = \frac{0,01}{P (B)}$
Die Aussage ist wahr, da $P_{B} (A) = 8 \cdot P_{B} (A)$ .
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Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte $\Rightarrow B .$
Gesucht ist dann: $P_{B} (A)$ und $P_{B} (A)$
Vergleiche die beiden Werte.
Der Tourismusverband vermutet, dass sich der bisherige Anteil der Radausflügler unter den Touristen von $15 %$ durch den Einsatz der Shuttlebusse erhöht hat. Die Verantwortlichen planen die Durchführung eines Signifikanztests mit einem Signifikanzniveau von $8 %$ und der Nullhypothese „Der Anteil der Radausflügler unter allen Touristen liegt bei höchstens $15 %$ .“.
Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Shuttlebusse nur dann weiterzubetreiben, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt wird.
Es ist geplant, den Test auf der Grundlage einer Stichprobe von $200$ Touristen durchzuführen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel
Es ist $n = 200$ und $p = 0,15$ . Das Signifikanzniveau ist $8 %$ .
$Y$ : Anzahl der Radausflügler
$P_{H_{0}} (Y \geq k) \leq 0,08 \Rightarrow 1 - P (Y \leq k - 1) \leq 0,08$
$\Rightarrow 0,92 \leq P (Y \leq k - 1) = F (200; 0,15; k - 1)$
Man findet $F (200; 0,15; 35) \approx 0,8987 < 0,92$ und $F (200; 0,15; 36) \approx 0,9280 > 0,92$ .
Demnach ist $k - 1 = 36 \Rightarrow k = 37$ .
Wenn mindestens $72$ Radausflügler in der Stichprobe sind, wird die Nullhypothese abgelehnt.
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Es ist $n = 200$ und $p = 0,15$ . Das Signifikanzniveau ist $8 %$ .
$Y$ : Anzahl der Radausflügler
Berechne $P_{H_{0}} (Y \geq k) \leq 0,08$
Angenommen, der beschriebene Test wird auf der Grundlage einer Stichprobe von nur $100$ Touristen durchgeführt. In diesem Fall wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn sich unter diesen mehr als $20$ Radausflügler befinden. Damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art höchstens $30 %$ beträgt, muss der tatsächliche Anteil der Radausflügler unter allen Touristen mindestens einen bestimmten Wert haben. Ermitteln Sie diesen Wert auf ganze Prozent genau und beschreiben Sie die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang.
(5 BE)
Hinweis: Die unten abgebildete Tabelle ergänzt das zugelassene Tafelwerk.
Binomialverteilung kumulativ; $k \mapsto \sum_{i = 0}^{k} B (n; p; i)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Ermittle diesen Wert auf ganze Prozent genau
Es ist $n = 100, β = 30 %$ und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn sich unter den Touristen mehr als $20$ Radausflügler befinden.
Gesucht ist $p$ .
$\Rightarrow P (Y \leq 20) = F (100; p; 20) \leq 0,3$
Der beigefügten Tabelle entnimmt man:
$F (100; 0,22; 20) \approx 0,36619 > 0,3$ und $F (100; 0,23; 20) \approx 0,28106 < 0,3$ .
Der tatsächliche Anteil der Radausflügler müsste mindestens $23 %$ betragen.
Beschreibe die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang
Fehler 2. Art: Man nimmt irrtümlicherweise an, dass eine Hypothese korrekt ist, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
$\Rightarrow$ Obwohl der Anteil der Radausflügler auf über $15 %$ gestiegen ist, entscheidet man sich aufgrund des Testergebnisses den Betrieb der Shuttlebusse einzustellen.
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Teil 1
Es ist $n = 100, β = 30 %$ und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn sich unter den Touristen mehr als $20$ Radausflügler befinden.
Gesucht ist $p$ $\Rightarrow P (Y \leq 20) = F (100; p; 20) \leq 0,3$ mit unbekanntem $p$ .
Benutze die Wahrscheinlichkeitstabelle.
Teil 2
Fehler 2. Art: Man nimmt irrtümlicherweise an, dass eine Hypothese korrekt ist, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Was bedeutet das im Sachzusammenhang?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

Baumdiagramm

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Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

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Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel

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Ermittle diesen Wert auf ganze Prozent genau

Beschreibe die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang

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