Ergänze die Skalierung des Koordinatensystems in Abbildung 2

Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $𝐷(5|0|0)$ und $A$ hat für $a=-1$ die Koordinaten $A(4|1|-1)$. Das hilft, die Achsen zu skalieren.

Zeige, dass die Figur $𝐴𝐵𝐶𝐷$ ein symmetrisches Trapez ist

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Vergleiche diese beiden Vektoren:

$\overrightarrow{AB}={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot \overrightarrow{DC}$

Zwei Seiten der Figur sind parallel zueinander und nicht gleich lang.

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -a\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -a\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-a{)}^2}=\sqrt{2+a^2}$und $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+(-a{)}^2}=\sqrt{2+a^2}$

Also gilt: $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|\Rightarrow$symmetrisches Trapez.

Bestimme, welche Länge die Leine bei Befestigung in den Punkten $𝐴$ und $𝐷$ mindestens haben muss

Gegeben: $𝑎=-4$ gilt bei Niedrigwasser.

Nach Aufgabe b) gilt: $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{2+a^2}=\sqrt{2+(-4{)}^2}=\sqrt{18}\approx \mathrm{4,24}$

Zum Festmachen muss bei jeder Leine eine zusätzliche Länge von $\mathrm{1,5}\text{ m}$ berücksichtigt werden$\Rightarrow$Mindestlänge in Metern etwa $\mathrm{5,74}$.

Bestimme einen Wert von $𝑎$, sodass der Winkel zwischen der vorderen Leine und der Bootskante $\overline{𝐴B}$ die Größe $110°$ hat

$\cos 110°={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AD}\right|}}={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -a\end{array}\right)}{8\cdot \sqrt{2+a^2}}}={\displaystyle \frac{-8}{8\cdot \sqrt{2+a^2}}}={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2+a^2}}}$

Wegen $-4\le a\le -\mathrm{0,5}$ $\Rightarrow a\approx -\mathrm{2,56}$

Für $a\approx -\mathrm{2,56}$ hat der Winkel zwischen der vorderen Leine und der Bootskante $\overline{𝐴B}$ die Größe $110°$.

Untersuche, ob die Leine zwischen $𝐴$ und $𝑃$ bei Niedrigwasser an der Kante der Kaimauer abknickt

Gegeben: $𝑎=-4$ gilt bei Niedrigwasser und $𝑃(7|-\mathrm{0,5}|\mathrm{0,5})$.

Die Kante der Kaimauer verläuft entlang der $x$-Achse.

Untersuche, wo der Schnittpunkt der Geraden $g_{AP}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AP}$ mit der $xz$-Ebene liegt. Dieser Punkt hat dann die Koordinaten $(x|0|z)$.

Dabei ist nur die $z$-Koordinate des Schnittpunktes von Interesse.

• Ist $z>0$, dann knickt die Leine an der Kante der Kaimauer nicht ab.

• Ist $z<0$, dann knickt die Leine an der Kante der Kaimauer ab.

Ansatz: $\left(\begin{array}{c}x\\ 0\\ z\end{array}\right)=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AP}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}7-4\\ -\mathrm{0,5}-1\\ \mathrm{0,5}-(-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -\mathrm{1,5}\\ \mathrm{4,5}\end{array}\right)$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt: $0=1-\mathrm{1,5}r\Rightarrow r={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Mit $r={\displaystyle \frac{2}{3}}$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt: $z=-4+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \mathrm{4,5}=-1$

Damit liegt die direkte Verbindung der beiden Befestigungspunkte unterhalb der Kante der Kaimauer ($z=-1$), d.h. die Leine knickt an der Kante der Kaimauer ab.