Begründe, dass ${𝑓}_{𝑘}$ für jeden Wert von $𝑘$ genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an

Gegeben: ${𝑓}_{𝑘}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2$

${𝑓}_{𝑘}(𝑥)=0\Rightarrow x=0$ oder $x=2k$

Wegen $𝑘\in {ℝ}^{+}$ gibt es genau $2$ Nullstellen.

Berechne diesen Abstand

Gegeben: ${𝑓}_{𝑘}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2$

Löse die Gleichung $f_k^{\prime }(x)=0$:

Du erhältst die Lösungen $x=0\vee x=k\vee x=2k$

Da es zwei Tiefpunkte gibt, muss der Hochpunkt bei $x=k$ liegen.

Der Hochpunkt liegt bei $x=k$: $\Rightarrow {𝑓}_{𝑘}(k)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot k^2\cdot (k-2k{)}^2={\displaystyle \frac{k^3}{2}}$

Ein Tiefpunkt liegt bei $x=0$ $\Rightarrow {𝑓}_{𝑘}(0)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot 0^2\cdot (0-2k{)}^2=0$.

$\Rightarrow HP(k|\frac{k^3}{2})$ und $TP(0|0)$.

Der Abstand der beiden Punkte ist dann:

$d=\sqrt{(k-0{)}^2+{({\displaystyle \frac{k^3}{2}}-0)}^2}={\displaystyle \frac{k\cdot \sqrt{k^4+4}}{2}}$ mit $k>0$.

Der Abstand der beiden Punkte beträgt $d={\displaystyle \frac{k\cdot \sqrt{k^4+4}}{2}}$.

Beurteile die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen: Für jeden Wert von $𝑘$ gibt der Term $${\displaystyle {\int }_{-1}^1{f}_k(x)\mathrm{d}x}$$ den Inhalt der betrachteten Fläche an

Gegeben ${𝑓}_{𝑘}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2$ und $𝑘\in {ℝ}^{+}$.

Der Term ${\displaystyle \frac{1}{2k}}$ ist wegen $𝑘\in {ℝ}^{+}$ größer null.

$x^2>0$ und $(x-2k{)}^2>0$ (quadratische Terme).

${𝑓}_{𝑘}(𝑥)$ ist als Produkt von drei Faktoren gegeben, die alle nur positive Werte annehmen. Demnach gibt es keine Flächenstücke unterhalb der $𝑥$-Achse, womit die Aussage richtig ist.

Untersuche, ob die folgende Aussage richtig ist: Für $𝑘>3$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als ${𝑘}^5$

Bekannt: Hier, kann $k$ jeden Wert annehmen.

Löse die Gleichung $f_k(x)=h_k(x)$:

Du erhältst die Lösungen $x=-k\vee x=k\vee x=2k$.

Für $x\in ]-k;k[$ ist $h_k>f_k$.

Z.B. ist $h_k(0)=2k^3$ und $f_k(0)=0$ und $2k^3>0$.

Der Flächeninhalt ist in diesem Flächenstück: $$A_1={\displaystyle {\int }_{-k}^k(h_k(x)-f_k(x))\mathrm{d}x}$$

Für $x\in ]k;2k[$ ist $h_k<f_k$.

Z.B. ist $h_k(\mathrm{1,5}k)={\displaystyle \frac{k^3}{8}}$ und $f_k(\mathrm{1,5}k)={\displaystyle \frac{9k^3}{32}}$ und ${\displaystyle \frac{9k^3}{32}}>{\displaystyle \frac{k^3}{8}}$.

Der Flächeninhalt ist in diesem Flächenstück: $$A_2={\displaystyle {\int }_k^{2k}{f}_k(x)-h_k(x))\mathrm{d}x}$$

$$A_{ges}=A_1+A_2={\displaystyle {\int }_{-k}^k(h_k(x)-f_k(x))\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_k^{2k}{f}_k(x)-h_k(x))\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{29}{10}}{k}^4}}$$

Ist der Inhalt der Fläche kleiner als ${𝑘}^5$?

${\displaystyle \frac{29}{10}}{k}^4<k^5\Rightarrow k>{\displaystyle \frac{29}{10}}$

Die Aussage für alle $k>3$ richtig.

Bestimme die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum $0\le 𝑥\le 5$

${𝑓}_{\mathrm{2,5}}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \mathrm{2,5}}}\cdot x^2\cdot (x-2\cdot \mathrm{2,5}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x^2\cdot (x-5{)}^2$

$\Rightarrow$$𝑟(𝑥)={𝑒}^{𝑥}\cdot {𝑓}_{\mathrm{2,5}}(𝑥)=e^x\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x^2\cdot (x-5{)}^2={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x^2\cdot (x-5{)}^2\cdot e^x$

Löse die Gleichung $r^{\prime }(x)=0$.

Du erhältst die Lösungen $x_1\approx -\mathrm{2,7},x_2=0,x_3\approx \mathrm{3,7}$ und $x_4=5$.

Die Funktion $r$ ist in $0\le 𝑥\le 5$ definiert. Daher entfällt die Lösung $x_1$.

Außerdem gilt $𝑟(0)=0$, $r(5)=0$ und $r(x_3)\approx 187$.

Die kleinste momentane Zuflussrate beträgt somit $0{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ und die größte etwa $187{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

Beschreibe die Bedeutung des Wertes $𝑟\text{′}({𝑥}_0)$, die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang

Im Wendepunkt an der Stelle $x_0$ hat die Steigung der Funktion ihren Extremwert, ist also entweder am stärksten steigend oder am stärksten fallend.

Gegeben ist $r\text{′}({𝑥}_0)\approx \mathrm{100,5}$, d.h. die momentane Zuflussrate steigt im betrachteten Zeitraum mit etwa $\mathrm{100,5}{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ pro Stunde am stärksten zu dem Zeitpunkt an, der durch $x_0$ beschrieben wird.

Erläutere, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $${\displaystyle {\int }_4^{5}r(x)\mathrm{d}x<120}$$

In der Abbildung hat das Rechteck mit $120$ einen größeren Inhalt als die

schraffierte Fläche.

Die nicht schraffierte graue Fläche hat einen größeren Inhalt als der Teil der schraffierten Fläche, der nicht zum Rechteck gehört.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang

In der letzten Stunde des betrachteten Zeitraums sind weniger als $120{\text{ m}}^3$

Regenwasser in das Auffangbecken geflossen.

Gib einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt

Füllmenge des Auffangbeckens zur Zeit $t=0$: $186{\text{ m}}^3$.

Zufluss in das Auffangbecken von $t=0$ bis $t=x$: $${\displaystyle {\int }_0^{x}r(t)\mathrm{d}t}$$.

$c$ beschreibt die konstante Entnahmerate der Pumpe in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

$(x-\mathrm{3,5})$ ist die Zeit nach dem Einschalten der Pumpe.

$-c\cdot (x-\mathrm{3,5})$ ist das abgepumpte Wasservolumen in${\text{ m}}^3$ nach dem Einschalten der Pumpe.

Damit ergibt sich der folgende Term:

$$186+{\displaystyle {\int }_0^{x}r(t)\mathrm{d}t-c\cdot (x-\mathrm{3,5})}$$