Berechne die Werte von $𝑝$ und $𝑛$

Es gilt: $𝑃(𝑋=1)$ ist vierzehnmal so groß wie $𝑃(𝑋=0)$ $\Rightarrow 𝑃(𝑋=1)=14\cdot 𝑃(𝑋=0)$ und

$B(n,p,k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$

$\Rightarrow B(n,p,1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)\cdot p^1\cdot (1-p{)}^{n-1}$ und $B(n,p,0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)\cdot p^0\cdot (1-p{)}^{n-0}\Rightarrow B(n,p,0)=(1-p{)}^n$

$\Rightarrow P(X=1)=n\cdot p\cdot (1-p{)}^{n-1}=14\cdot P(X=0)=14\cdot (1-p{)}^n$

Es gilt also: $(\mathrm{I})$ $n\cdot p\cdot (1-p{)}^{n-1}=14\cdot (1-p{)}^n$

Der Erwartungswert von $𝑋$ ist gleich $10$ $\Rightarrow E(X)=n\cdot p=10$.

Ersetze in Gleichung $(\mathrm{I})n\cdot p$ durch $10$.

Damit erhältst Du:

$10\cdot (1-p{)}^{n-1}=14\cdot (1-p{)}^n\Rightarrow 10=14\cdot (1-p)\Rightarrow {\displaystyle \frac{5}{7}}=1-p\Rightarrow p=1-{\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$

Weiterhin folgt nun:

$n\cdot p=10\Rightarrow n={\displaystyle \frac{10}{p}}={\displaystyle \frac{10}{{\displaystyle \frac{2}{7}}}}={\displaystyle \frac{10\cdot 7}{2}}=35$

Die gesuchten Werte sind $n=35$ und $p={\displaystyle \frac{2}{7}}$.