Teil A: Wahlpflichtteil

Zeige, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime }(x)$ und zeige, dass $f^{\prime }(2)=0$ ist.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3-3x$

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-3\Rightarrow f^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 2^2-3=0$

Bekannt ist: Für die zweite Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f^{\prime \prime }(2)\ne 0$.

Damit ist $2$ eine Extremstelle von $f$.

Gib diesen Graphen an und begründe Deine Angabe

Graph II ist der gesuchte Graph von $G_F$.

Wenn $G_f$ an der Stelle $x=2$ ein Extremum hat, dann hat nach der NEW-Regel $G_F$ an der Stelle $x=2$ einen Wendepunkt. Dies gilt für den Graphen II.

Weise nach, dass die folgende Aussage wahr ist. Wenn der Graph von $𝑔$ im Punkt $(𝑎|g(𝑎))$ mit $𝑎\in ℝ$ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt $𝑓\text{′}(𝑎)=-𝑓(𝑎)$

Gegeben ist $𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)\cdot {𝑒}^{𝑥}$.

Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produktregel:

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot e^x+f(x)\cdot e^x$

Bei einer waagrechten Tangente im Punkt $(𝑎|g(𝑎))$ ist $g^{\prime }(a)=0$.

$\Rightarrow g^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)\cdot e^a+f(a)\cdot e^a=0\Rightarrow (f^{\prime }(a)+f(a))\cdot e^a=0$

$e^a\ne 0\Rightarrow f^{\prime }(a)+f(a)=0\Rightarrow f^{\prime }(a)=-f(a)$

Die Aussage ist also wahr.

Zeige mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $𝑔$ im Punkt $(1|𝑔(1))$ keine waagerechte Tangente besitzt

Die Aussage aus Aufgabe a) besagt, besitzt $g$ im Punkt $(1|g(1))$ eine waagrechte Tangente, dann gilt $f^{\prime }(1)=-f(1)$.

Nach der Abbildung gilt aber $𝑓(1)=-2<0$ und $𝑓\text{′}(1)\approx -1<0$, d.h. ein Widerspruch zu der obigen Aussage.

Der Graph von $𝑔$ besitzt im Punkt $(1|𝑔(1))$ keine waagerechte Tangente.

Entscheide durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine reelle Zahl darstellt oder nicht definiert ist

Begründung:

$\underset{\text{Skalarprodukt}}{\underbrace{\overrightarrow{a}\circ (\underset{\text{Vektor}}{\underbrace{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}})}}$; das Ergebnis ist eine reelle Zahl.

$\underset{\text{nicht definiert}}{\underbrace{\overrightarrow{a}+(\underset{\text{Zahl}}{\underbrace{\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}}})}}$; der Ausdruck ist nicht definiert.

Ermittle alle Werte von $r$, für die dieser Winkel eine Größe von mindestens ${90}^{°}$ hat

$\cos \phi ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}r\\ 4\\ 2\end{array}\right)}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}\cdot \sqrt{r^2+4^2+2^2}}}={\displaystyle \frac{2r+12}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{r^2+20}}}$

$\cos \phi =0$ für $\phi =90°$ und $\cos \phi <0$ für $\phi >90°$

Der Winkel hat eine Größe von mindestens ${90}^{°}$ genau dann, wenn gilt:

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{2r+12}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{r^2+20}}}\le 0\Rightarrow 2r+12\le 0\Rightarrow r\le -6$

Für alle $r\le -6$ hat dieser Winkel eine Größe von mindestens ${90}^{°}$.

Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen. Gib diese an

Gegeben: ${𝐸}_{𝑘}:𝑘𝑥+(2-𝑘)\cdot 𝑦=𝑘$$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{E_k}=\left(\begin{array}{c}k\\ 2-k\\ 0\end{array}\right)$

Der Normalenvektor der $xy$-Ebene ist ${\overrightarrow{n}}_{xy}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$:

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{xy}\circ {\overrightarrow{n}}_{E_k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}k\\ 2-k\\ 0\end{array}\right)=0$

Alle Ebenen der Schar stehen senkrecht auf der $xy$-Ebene.

Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind

${𝐸}_a:a𝑥+(2-a)\cdot 𝑦=a$ und ${𝐸}_b:b𝑥+(2-b)\cdot 𝑦=b$ mit $a\ne b$.

Bei Parallelität gilt: ${\overrightarrow{n}}_a=r\cdot {\overrightarrow{n}}_b\Rightarrow \left(\begin{array}{c}a\\ 2-a\\ 0\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}b\\ 2-b\\ 0\end{array}\right)$.

Aus Gleichung $(\mathrm{I})$ folgt $a=r\cdot b$ und aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt $2-a=2r-rb$.

Mit $a=r\cdot b$ folgt in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ $2-a=2r-a\Rightarrow r=1$.

Wegen $a\ne b$ ist aber $r=1$ nicht möglich (z.B. Widerspruch in Gleichung $(\mathrm{I})$).

Jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar sind nicht parallel zueinander.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei keinem der beiden Würfe die Zahl $3$ zu erzielen, ${\displaystyle \frac{25}{36}}$ beträgt

$P(3)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(\overline{3})=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\Rightarrow P(\overline{3},\overline{3})={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{25}{36}}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei keinem der beiden Würfe die Zahl $3$ zu erzielen, beträgt ${\displaystyle \frac{25}{36}}$.

Ermittle den Wert von $x$

Nach Aufgabe a) ist $P(\overline{3},\overline{3})={\displaystyle \frac{25}{36}}$

Weiterhin ist $P(\mathrm{3,3})={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$.

Außerdem ist $P(3\overline{3},\overline{3}3)=P(3,\overline{3})+P(\overline{3},3)={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{10}{36}}$.

Der Einsatz bei diesem Spiel beträgt $2$ Euro.

Berechne den Erwartungswert von $X$:

$E(X)=x\cdot {\displaystyle \frac{1}{36}}+5\cdot {\displaystyle \frac{10}{36}}+0=2$

Der Wert ist $x=22€$.