Weise nach, dass die folgende Aussage wahr ist. Wenn der Graph von $𝑔$ im Punkt $(𝑎|g(𝑎))$ mit $𝑎\in ℝ$ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt $𝑓\text{′}(𝑎)=-𝑓(𝑎)$

Gegeben ist $𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)\cdot {𝑒}^{𝑥}$.

Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produktregel:

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot e^x+f(x)\cdot e^x$

Bei einer waagerechten Tangente im Punkt $(𝑎|g(𝑎))$ ist $g^{\prime }(a)=0$.

$\Rightarrow g^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)\cdot e^a+f(a)\cdot e^a=0\Rightarrow (f^{\prime }(a)+f(a))\cdot e^a=0$

$e^a\ne 0\Rightarrow f^{\prime }(a)+f(a)=0\Rightarrow f^{\prime }(a)=-f(a)$

Die Aussage ist also wahr.

Zeige mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $𝑔$ im Punkt $(1|𝑔(1))$ keine waagerechte Tangente besitzt

Die Aussage aus Aufgabe a) besagt, besitzt $g$ im Punkt $(1|g(1))$ eine waagerechte Tangente, dann gilt $f^{\prime }(1)=-f(1)$.

Nach der Abbildung gilt aber $𝑓(1)=-2<0$ und $𝑓\text{′}(1)\approx -1<0$, d. h. ein Widerspruch zu der obigen Aussage.

Der Graph von $𝑔$ besitzt im Punkt $(1|𝑔(1))$ keine waagerechte Tangente.