Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Wahlpflichtaufgabe 3

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ mit jeweils drei reellen Zahlen als Koordinaten.

Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine reelle Zahl darstellt oder nicht definiert ist. [2 BE]

Ausdruck	Vektor mit drei Koordinaten	reelle Zahl	nicht definiert
$\vec{a} \circ (\vec{a} + \vec{b})$	$□$	$□$	$□$
$\vec{a} + (\vec{a} \circ \vec{b})$	$□$	$□$	$□$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Entscheide durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine reelle Zahl darstellt oder nicht definiert ist

Ausdruck	Vektor mit drei Koordinaten	reelle Zahl	nicht definiert
$\vec{a} \circ (\vec{a} + \vec{b})$	$□$	$x$	$□$
$\vec{a} + (\vec{a} \circ \vec{b})$	$□$	$□$	$x$

Begründung:

$\underset{Skalarprodukt}{\underset{⏟}{\vec{a} \circ (\underset{Vektor}{\underset{⏟}{\vec{a} + \vec{b}}})}}$ ; das Ergebnis ist eine reelle Zahl.

$\underset{nicht definiert}{\underset{⏟}{\vec{a} + (\underset{Zahl}{\underset{⏟}{\vec{a} \circ \vec{b}}})}}$ ; der Ausdruck ist nicht definiert.

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Betrachtet wird der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{v_{r}} = (\begin{array}{c} r \\ 4 \\ 2 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ .
Ermitteln Sie alle Werte von $r$ , für die dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ hat. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Ermittle alle Werte von $r$ , für die dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ hat
$\cos φ = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} r \\ 4 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{r^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{2 r + 12}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{r^{2} + 20}}$
$\cos φ = 0$ für $φ = 90 °$ und $\cos φ < 0$ für $φ > 90 °$
Der Winkel hat eine Größe von mindestens $90^{°}$ genau dann, wenn gilt:
$\Rightarrow \frac{2 r + 12}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{r^{2} + 20}} \leq 0 \Rightarrow 2 r + 12 \leq 0 \Rightarrow r \leq - 6$
Für alle $r \leq - 6$ hat dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ .
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Es ist $\cos φ = 0$ für $φ = 90 °$ und $\cos φ < 0$ für $φ > 90 °$ .
Berechne $\cos φ = \frac{\vec{u} \circ \vec{v_{r}}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v_{r}} |} \leq 0 \Rightarrow r$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Wahlpflichtaufgabe 3

Entscheide durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine reelle Zahl darstellt oder nicht definiert ist

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Ermittle alle Werte von r, für die dieser Winkel eine Größe von mindestens 90° hat

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Ermittle alle Werte von $r$ , für die dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ hat