Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Wahlpflichtaufgabe 3

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ mit jeweils drei reellen Zahlen als Koordinaten.

Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine reelle Zahl darstellt oder nicht definiert ist. [2 BE]

Ausdruck	Vektor mit drei Koordinaten	reelle Zahl	nicht definiert
$\vec{a} \circ (\vec{a} + \vec{b})$	$□$	$□$	$□$
$\vec{a} + (\vec{a} \circ \vec{b})$	$□$	$□$	$□$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Entscheide durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine reelle Zahl darstellt oder nicht definiert ist

Ausdruck	Vektor mit drei Koordinaten	reelle Zahl	nicht definiert
$\vec{a} \circ (\vec{a} + \vec{b})$	$□$	$x$	$□$
$\vec{a} + (\vec{a} \circ \vec{b})$	$□$	$□$	$x$

Begründung:

$\underset{Skalarprodukt}{\underset{⏟}{\vec{a} \circ (\underset{Vektor}{\underset{⏟}{\vec{a} + \vec{b}}})}}$ ; das Ergebnis ist eine reelle Zahl.

$\underset{nicht definiert}{\underset{⏟}{\vec{a} + (\underset{Zahl}{\underset{⏟}{\vec{a} \circ \vec{b}}})}}$ ; der Ausdruck ist nicht definiert.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Betrachtet wird der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{v_{r}} = (\begin{array}{c} r \\ 4 \\ 2 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ .
Ermitteln Sie alle Werte von $r$ , für die dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ hat. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Ermittle alle Werte von $r$ , für die dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ hat
$\cos φ = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} r \\ 4 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{r^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{2 r + 12}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{r^{2} + 20}}$
$\cos φ = 0$ für $φ = 90 °$ und $\cos φ < 0$ für $φ > 90 °$
Der Winkel hat eine Größe von mindestens $90^{°}$ genau dann, wenn gilt:
$\Rightarrow \frac{2 r + 12}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{r^{2} + 20}} \leq 0 \Rightarrow 2 r + 12 \leq 0 \Rightarrow r \leq - 6$
Für alle $r \leq - 6$ hat dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Es ist $\cos φ = 0$ für $φ = 90 °$ und $\cos φ < 0$ für $φ > 90 °$ .
Berechne $\cos φ = \frac{\vec{u} \circ \vec{v_{r}}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v_{r}} |} \leq 0 \Rightarrow r$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Wahlpflichtaufgabe 3

Entscheide durch Ankreuzen, ob der jeweilige Ausdruck einen Vektor mit drei Koordinaten darstellt, eine reelle Zahl darstellt oder nicht definiert ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle alle Werte von r, für die dieser Winkel eine Größe von mindestens 90° hat

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle alle Werte von $r$ , für die dieser Winkel eine Größe von mindestens $90^{°}$ hat