Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabenstellung:

Immer mehr Hausbesitzer errichten auf ihren Hausdächern eine Solaranlage, mit der Energie aus Sonnenlicht gewonnen wird.

Mit der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit

f (t) = 8 \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} - 0,3

wird die Leistung einer Solaranlage in einem durch das Intervall $[t_{1}; t_{2}]$ gegebenen Zeitraum an einem bestimmten Tag modelliert. Dabei sind $t_{1}$ und $t_{2}$ die Nullstellen von $f$ .

Durch $t$ ist die Zeit in Stunden ( $h$ ) gegeben, die am betrachteten Tag seit $0$ Uhr vergangen ist. Durch $f (t)$ ist die Leistung der Solaranlage in Kilowatt (⁣ $k W$ ) gegeben. Es wird angenommen, dass die Leistung der Solaranlage am betrachteten Tag außerhalb des durch [ $t_{1}; t_{2}$ ] gegebenen Zeitraums $0 k W$ beträgt.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

(1) Geben Sie $f (12)$ an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.
[2 BE]
(2) Bestimmen Sie $t_{1}$ und $t_{2}$ gerundet auf zwei Nachkommastellen.
[Zur Kontrolle: Bei Rundung auf eine Nachkommastelle ergibt sich $t_{1} \approx 7,8$ und $t_{2} \approx 19,2$ .] [2 BE]
(3) (i) Zeigen Sie: $f^{'} (t) = - 1,6 \cdot (t - 13,5) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}}$ . [2 BE]
(ii) Untersuchen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt am betrachteten Tag die Leistung der Solaranlage maximal ist. [3 BE]
(4) Bestimmen Sie den Zeitpunkt am betrachteten Tag, zu dem die Leistung der Solaranlage am stärksten abnimmt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
(1) Gib $f (12)$ an und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang
$f (t) = 8 \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} - 0,3$
$f (12) \approx 6,09$
Die Leistung der Solaranlage beträgt um 12 Uhr ungefähr $6,09 k W$ .
(2) Bestimme $t_{1}$ und $t_{2}$ gerundet auf zwei Nachkommastellen
Löse $f (t) = 0$ :
Der GTR liefert die beiden Lösungen $t_{1} \approx 7,77$ und $t_{2} \approx 19,23$ .
(3) (i) Zeige: $f^{'} (t) = - 1,6 \cdot (t - 13,5) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}}$
$f (t) = 8 \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} - 0,3$
Beachte beim Ableiten die Kettenregel:
$f^{'} (t) = 8 \cdot (2 \cdot (- 0,1) \cdot (t - 13,5)) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} = - 1,6 \cdot (t - 13,5) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}}$
(ii) Untersuche rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt am betrachteten Tag die Leistung der Solaranlage maximal ist
Die absoluten Extrema von $f$ im Intervall $[t_{1}; t_{2}]$ können nur an den Nullstellen von $f^{'}$ oder an den Randstellen auftreten.
$f^{'} (t) = 0 \Rightarrow 0 = - 1,6 \cdot (t - 13,5) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} \Rightarrow t = 13,5$ $($ wegen $e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} \neq 0$ $)$
Außerdem gilt: $f (13,5) = 7,7$ und $f (t_{1}) = f (t_{2}) = 0$ .
Die maximale Leistung der Solaranlage liegt $13,5$ Stunden nach $0$ Uhr vor.
(4) Bestimme den Zeitpunkt am betrachteten Tag, zu dem die Leistung der Solaranlage am stärksten abnimmt
Gesucht ist die globale Minimalstelle von $f^{'}$ im Intervall $[t_{1}; t_{2}]$ .
Der GTR liefert im Intervall $[t_{1}; t_{2}]$ (z. B. durch graphische Analyse) den globalen Tiefpunkt $T (15,7 | - 2,17)$ des Graphen von $f^{'}$ .
Die Leistung der Solaranlage nimmt ungefähr $15,7$ Stunden nach 0 Uhr am stärksten ab.
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(1)
Berechne f(12).
(2)
Löse $f (t) = 0$ mit dem GTR.
(3)(i)
Berechne f'(t). Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
(ii)
Die absoluten Extrema von $f$ im Intervall $[t_{1}; t_{2}]$ können nur an den Nullstellen von $f^{'}$ oder an den Randstellen auftreten.
Löse $f^{'} (t) = 0 \Rightarrow t_{E}$ . Berechne $f (t_{E})$ , beachte $f (t_{1}) = f (t_{2}) = 0$ .
(4)
Gesucht ist die globale Minimalstelle von $f^{'}$ im Intervall $[t_{1}; t_{2}]$ .
Im Folgenden wird die von der Solaranlage aus dem Sonnenlicht gewonnene Energie betrachtet. Die Leistung der Solaranlage ist die Änderungsrate dieser Energie. Die von der Solaranlage gewonnene Energie wird im Folgenden in der Einheit Kilowattstunden ( $k W h$ ) angegeben.
Weisen Sie nach, dass die am betrachteten Tag von $11$ Uhr bis $15$ Uhr gewonnene Energie ungefähr $26,47 k W h$ beträgt. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Weise nach, dass die am betrachteten Tag von 11 Uhr bis 15 Uhr gewonnene Energie ungefähr $26,47 k W h$ beträgt
Der GTR liefert $\int_{11}^{15} f (t) d t \approx 26,4687604$ .
Die am betrachteten Tag von 11 Uhr bis 15 Uhr gewonnene Energie beträgt ungefähr $26,47 k W h$ .
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Berechne mit dem GTR $\int_{11}^{15} f (t) d t$ .
Mit der Solaranlage werden die elektrischen Geräte des Hauses betrieben. Wenn die Leistung, die diese Geräte benötigen, die von der Solaranlage gelieferte Leistung übersteigt, dann wird die zusätzlich benötigte Energie aus dem städtischen Stromnetz bezogen. Wenn die von den elektrischen Geräten des Hauses benötigte Leistung geringer ist als die von der Solaranlage gelieferte Leistung, dann wird die überschüssige Energie in das städtische Stromnetz eingespeist.
Mit der in $ℝ$ definierten Funktion $g$ mit
$g (t) = 1,4 \cdot (t^{2} - 26,3 t + 173,3) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} + 0,5$
wird für $0 \leq t \leq 24$ für jeden Zeitpunkt des betrachteten Tages die Leistung modelliert, die die elektrischen Geräte des Hauses benötigen. Durch $t$ ist wieder die Zeit in Stunden ( $h$ ) gegeben, die am betrachteten Tag seit 0 Uhr vergangen ist. Durch $g (t)$ ist die von den Geräten des Hauses benötigte Leistung in Kilowatt ( $k W$ ) gegeben.
Die Situation ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
(1) Bestimmen Sie die Länge des Zeitraums am betrachteten Tag, in dem die von den elektrischen Geräten des Hauses benötigte Leistung geringer ist als die von der Solaranlage gelieferte Leistung. [3 BE]
Die am betrachteten Tag gewonnene bzw. genutzte Energie wird in drei Kategorien unterteilt: in das städtische Stromnetz eingespeiste Energie ( $E$ ), aus dem städtischen Stromnetz bezogene Energie ( $B$ ) und selbst gewonnene und genutzte Energie ( $G$ ).
(2) (i) Markieren Sie in Abbildung 2 die Flächenstücke, deren Flächeninhalte den Energien $E, B$ und $G$ entsprechen. Unterscheiden Sie die Markierungen sichtbar.
[3 BE]
(ii) Für jede Kilowattstunde, die der Hausbesitzer in das städtische Stromnetz einspeist, werden ihm $8,3 c t$ gutgeschrieben.
Bestimmen Sie den Betrag, der dem Hausbesitzer für den betrachteten Tag gutgeschrieben wird. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
(1) Bestimme die Länge des Zeitraums am betrachteten Tag, in dem die von den elektrischen Geräten des Hauses benötigte Leistung geringer ist als die von der Solaranlage gelieferte Leistung
Die Gleichung $f (t) = g (t)$ hat die Lösungen $t_{3}$ und $t_{4}$ mit $t_{3} \approx 11,07$ und $t_{4} \approx 15,28$ .
Der Graph von $g$ verläuft für $t_{3} < t < t_{4}$ unterhalb des Graphen von $f$ , d.h. die von den elektrischen Geräten des Hauses benötigte Leistung ist geringer als die von der Solaranlage gelieferte Leistung.
$t_{4} - t_{3} = 15,28 - 11,07 = 4,21$
Für ungefähr $4,21$ Stunden ist die von den elektrischen Geräten des Hauses benötigte Leistung geringer als die von der Solaranlage gelieferte Leistung.
(2) (i) Markiere in Abbildung 2 die Flächenstücke, deren Flächeninhalte den Energien $E, B$ und $G$ entsprechen. Unterscheide die Markierungen sichtbar
Abbildung 2
In das städtische Stromnetz eingespeiste Energie ( $E$ ) (hellbraun).
Aus dem städtischen Stromnetz bezogene Energie ( $B$ ) (dunkelbraun).
Selbst gewonnene und genutzte Energie ( $G$ ) (orange).
(ii) Bestimme den Betrag, der dem Hausbesitzer für den betrachteten Tag gutgeschrieben wird
Bekannt: Für jede Kilowattstunde, die der Hausbesitzer in das städtische Stromnetz einspeist, werden ihm $8,3 c t$ gutgeschrieben.
Der GTR liefert: $8,3 \cdot \int_{11,07}^{15,28} (f (t) - g (t)) d t \approx 141,75$ .
Dem Hausbesitzer werden ungefähr $1,42 €$ für in das städtische Stromnetz eingespeiste Energie gutgeschrieben.
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(1)
Die Gleichung $f (t) = g (t)$ hat die Lösungen $t_{3}$ und $t_{4}$ .
Wie verläuft der Graph von $g$ für $t_{3} < t < t_{4}$ ?
Berechne $t_{4} - t_{3}$ .
(2)(i)
Markiere die entsprechenden Flächenstücke.
(ii)
Berechne $8,3 \cdot \int_{11,07}^{15,28} (f (t) - g (t)) d t$ .
Der zeitliche Verlauf der von den elektrischen Geräten des Hauses benötigten Leistung ähnelt sich an den meisten Tagen.
Die in $ℝ$ definierten Funktionen $h_{a}$ mit
$h_{a} (t) = a \cdot (t^{2} - 26,3 t + 173,3) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} + 0,5 mit a > 0$
werden für $0 \leq t \leq 24$ verwendet, um für verschiedene Tage für jeden Zeitpunkt des jeweiligen Tages die von den Geräten benötigte Leistung zu modellieren. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden ab 0 Uhr am jeweiligen Tag und $h_{a} (t)$ die benötigte Leistung der elektrischen Geräte des Hauses in Kilowatt ( $k W$ ).
(1) Geben Sie den Wert des Parameters $a$ an, für den die Funktionen $h_{a}$ und $g$ übereinstimmen, und beschreiben Sie, wie sich der Parameter $a$ auf den Verlauf des Graphen von $h_{a}$ auswirkt. [3 BE]
(2) $H_{a}$ ist die vom Parameter $a$ abhängige Funktion mit der Gleichung
$H_{a} (t) = \int_{0}^{t} h_{a} (x) d x, t \in ℝ$
Interpretieren Sie die Bedeutung von $H_{a}$ im Sachzusammenhang. [2 BE]
(3) Durch die Modellierung der Leistung der Solaranlage mit der Funktion $f$ ist im Modell auch die Energie gegeben, die am betrachteten Tag gewonnen wird. Es gibt einen Wert für den Parameter $a$ , für den diese Energie mit der von den elektrischen Geräten des Hauses benötigten Energie übereinstimmt, die sich bei der Modellierung der Leistung mit der Funktion $h_{a}$ für $0 \leq t \leq 24$ ergibt.
Ermitteln Sie diesen Wert von $a$ . [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen stauchen und strecken
(1) Gib den Wert des Parameters $a$ an, für den die Funktionen $h_{a}$ und $g$ übereinstimmen, und beschreibe, wie sich der Parameter $a$ auf den Verlauf des Graphen von $h_{a}$ auswirkt
Gegeben: $g (t) = 1,4 \cdot (t^{2} - 26,3 t + 173,3) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} + 0,5$ und $h_{a} (t) = a \cdot (t^{2} - 26,3 t + 173,3) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}} + 0,5$
Der Vergleich liefert $a = 1,4 \Rightarrow h_{1,4} = g$ .
Eine Vergrößerung von $a$ bewirkt, ausgehend von der Geraden $y = 0,5$ , eine Streckung des Graphen in $y$ -Richtung.
(2) Interpretiere die Bedeutung von $H_{a}$ im Sachzusammenhang
Durch die Funktion $H_{a}$ ist die Energie gegeben, die im Zeitraum von 0 bis $t$ von den elektrischen Geräten des Hauses an einem Tag benötigt wird, an dem die Leistung der elektrischen Geräte durch die Funktion $h_{a}$ gegeben ist.
(3) Ermittle diesen Wert von $a$
Definiere die Funktion $h (a) = \int_{0}^{24} (a (t^{2} - 26,3 t + 173,3) e^{- 0,1 (t - 13,5)^{2}} + 0,5) d t$ .
Löse die Gleichung: $h (a) = \int_{7,77}^{19,23} (8 e^{- 0,1 (t - 13,5)^{2}} - 0,3) d t$ nach $a$ auf.
Du erhältst $a \approx 0,93867...$ .
Die Gleichung $H_{a} (24) = \int_{7,77}^{19,23} f (t) d t$ liefert $a \approx 0,94$ .
Der Wert von $a$ beträgt rund $0,94$ .
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(1)
Vergleiche $g (t)$ mit $h_{a} (t) \Rightarrow a_{1}$ .
Wie wirkt sich $a$ auf den Funktionsverlauf aus?
(2)
Mit $H_{a} (t)$ wird eine Energie in einem bestimmten Zeitraum berechnet.
Welcher Zeitraum, welche Energie?
(3)
Definiere die Funktion $h (a) = \int_{0}^{24} (a (t^{2} - 26,3 t + 173,3) e^{- 0,1 (t - 13,5)^{2}} + 0,5) d t$ .
Löse die Gleichung: $h (a) = \int_{7,77}^{19,23} (8 e^{- 0,1 (t - 13,5)^{2}} - 0,3) d t$ nach $a$ auf.

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Aufgabenstellung:

(1) Gib f(12) an und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang

(2) Bestimme t1 und t2 gerundet auf zwei Nachkommastellen

(3) (i) Zeige: f′(t)=−1,6⋅(t−13,5)⋅e−0,1⋅(t−13,5)2

(ii) Untersuche rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt am betrachteten Tag die Leistung der Solaranlage maximal ist

(4) Bestimme den Zeitpunkt am betrachteten Tag, zu dem die Leistung der Solaranlage am stärksten abnimmt

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Weise nach, dass die am betrachteten Tag von 11 Uhr bis 15 Uhr gewonnene Energie ungefähr 26,47 kWh beträgt

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(1) Bestimme die Länge des Zeitraums am betrachteten Tag, in dem die von den elektrischen Geräten des Hauses benötigte Leistung geringer ist als die von der Solaranlage gelieferte Leistung

(2) (i) Markiere in Abbildung 2 die Flächenstücke, deren Flächeninhalte den Energien E,B und G entsprechen. Unterscheide die Markierungen sichtbar

(ii) Bestimme den Betrag, der dem Hausbesitzer für den betrachteten Tag gutgeschrieben wird

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(1) Gib den Wert des Parameters a an, für den die Funktionen ha und g übereinstimmen, und beschreibe, wie sich der Parameter a auf den Verlauf des Graphen von ha auswirkt

(2) Interpretiere die Bedeutung von Ha im Sachzusammenhang

(3) Ermittle diesen Wert von a

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(1) Gib $f (12)$ an und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang

(2) Bestimme $t_{1}$ und $t_{2}$ gerundet auf zwei Nachkommastellen

(3) (i) Zeige: $f^{'} (t) = - 1,6 \cdot (t - 13,5) \cdot e^{- 0,1 \cdot (t - 13,5)^{2}}$

Weise nach, dass die am betrachteten Tag von 11 Uhr bis 15 Uhr gewonnene Energie ungefähr $26,47 k W h$ beträgt

(2) (i) Markiere in Abbildung 2 die Flächenstücke, deren Flächeninhalte den Energien $E, B$ und $G$ entsprechen. Unterscheide die Markierungen sichtbar

(1) Gib den Wert des Parameters $a$ an, für den die Funktionen $h_{a}$ und $g$ übereinstimmen, und beschreibe, wie sich der Parameter $a$ auf den Verlauf des Graphen von $h_{a}$ auswirkt

(2) Interpretiere die Bedeutung von $H_{a}$ im Sachzusammenhang

(3) Ermittle diesen Wert von $a$