Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Wahlpflichtaufgabe 6

In einer Urne befinden sich $40$ blaue Kugeln.

Die $40$ blauen Kugeln in der Urne werden durch rote Kugeln ergänzt. Die Wahrscheinlichkeit, beim zufälligen Ziehen einer Kugel eine blaue Kugel zu erhalten, beträgt nun $80 %$ .
Bestimmen Sie, wie viele rote Kugeln ergänzt wurden. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Bestimme, wie viele rote Kugeln ergänzt wurden
Für die Anzahl $r$ der roten Kugel muss gelten:
$\frac{40}{40 + r}$ $=$ $0,8$
↓
Löse nach $r$ auf.
$40$ $=$ $0,8 \cdot (40 + r)$
↓
Löse die Klammer auf.
$40$ $=$ $32 + 0,8 r$ $- 32$
$8$ $=$ $0,8 r$ $: 0,8$
$10$ $=$ $r$
Es müssen $10$ rote Kugeln hinzugefügt werden.
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Löse die Gleichung nach $r$ auf: $\frac{40}{40 + r} = 0,8$
In einer anderen Urne befinden sich $40$ blaue und $20$ rote Kugeln.
(i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden. [2 BE]
(ii) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele blaue Kugeln bei der Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden.
Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt, wie viele blaue Kugeln bei der Ziehung von $n$ Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden.
Die Standardabweichung von $Y$ ist doppelt so groß wie die Standardabweichung von $X$ .
Geben Sie $n$ an. [1 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
(i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden
Es sind $n = 60$ Kugeln in der Urne, davon sind $40$ blau $\Rightarrow p_{blau} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$P (X = 2) = B (3; \frac{2}{3}; 2) = \frac{4}{9}$ , oder $P (X = 2) = 3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden, beträgt $\frac{4}{9}$ .
(ii) Gib $n$ an
Es gilt: $p_{blau} = \frac{2}{3}$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
Dann folgt: $σ_{X} = \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ und $σ_{Y} = \sqrt{n \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2 n}{9}}$
Weiterhin gilt: $σ_{Y} = 2 \cdot σ_{X}$
$\sqrt{\frac{2 n}{9}}$ $=$ $2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$ $()^{2}$
$\frac{2 n}{9}$ $=$ $4 \cdot \frac{2}{3}$ $: 2$
$\frac{n}{9}$ $=$ $\frac{4}{3}$ $\cdot 9$
$n$ $=$ $\frac{4 \cdot 9}{3}$
$n$ $=$ $12$
Es ist $n = 12$ .
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(i)
Berechne $p_{blau}$ .
Es ist $n = 3$ .
Berechne $P (X = 2) = B (3; p_{blau}; 2)$ .
(ii)
Es gilt: $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - r)}$
Berechne $σ_{X}$ und $σ_{Y}$ .
Löse die Gleichung $σ_{Y} = 2 \cdot σ_{X}$ nach $n$ auf.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{40}{40 + r}$	$=$	$0,8$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$40$	$=$	$0,8 \cdot (40 + r)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$40$	$=$	$32 + 0,8 r$	$- 32$
$8$	$=$	$0,8 r$	$: 0,8$
$10$	$=$	$r$

$\sqrt{\frac{2 n}{9}}$	$=$	$2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$	$()^{2}$
$\frac{2 n}{9}$	$=$	$4 \cdot \frac{2}{3}$	$: 2$
$\frac{n}{9}$	$=$	$\frac{4}{3}$	$\cdot 9$
$n$	$=$	$\frac{4 \cdot 9}{3}$
$n$	$=$	$12$

Wahlpflichtaufgabe 6

Bestimme, wie viele rote Kugeln ergänzt wurden

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(i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden

(ii) Gib n an

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(ii) Gib $n$ an