Teil A: Wahlpflichtteil

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Wahlpflichtaufgabe 1
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte ganzrationale Funktion $h$ mit $h (x) = 4 x^{3} - 6 x$ .
1. Bestimmen Sie die Stammfunktion $H$ von $h$ , deren Graph durch den Punkt $(1 | 0)$ verläuft. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Bestimme die Stammfunktion $H$ von $h$ , deren Graph durch den Punkt $(1 | 0)$ verläuft
  Gegeben ist $h (x) = 4 x^{3} - 6 x \Rightarrow H (x) = x^{4} - 3 x^{2} + C$
  Setze $(1 | 0)$ in $H$ ein:
  $0 = 1^{4} - 3 \cdot 1^{2} + C \Rightarrow C = 2$
  Die Stammfunktion $H$ von $h$ , deren Graph durch den Punkt $(1 | 0)$ verläuft, lautet $H (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ .
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  Bestimme eine Stammfunktion von $h$ mit einer Konstanten $C$ .
  Setze $(1 | 0)$ in $H$ ein, um $C$ zu bestimmen.
2. Begründen Sie ohne zu rechnen, dass $\int_{- 3}^{3} h (x) d x = 0$ ist. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
  Begründen Sie ohne zu rechnen, dass $\int_{- 3}^{3} h (x) d x = 0$ ist
  Der Term von $h$ enthält nur Potenzen von $x$ mit ungeraden Exponenten, d.h. $G_{h}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das Intervall $[- 3; 3]$ ist symmetrisch zu $0$ .
  Demnach hat das $\int_{- 3}^{3} h (x) d x$ den Wert Null.
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  Der Term von $h$ enthält nur Potenzen von $x$ mit ungeraden Exponenten. Was folgt daraus?
  Das Intervall $[- 3; 3]$ ist symmetrisch zu $0$ . Was folgt daraus?
2
Wahlpflichtaufgabe 2
Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $g$ mit $g (x) = 2 e^{x} - 2 e$ .
Abbildung 1
1. Weisen Sie nach, dass $1$ eine Nullstelle von $g$ ist. [1 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Weise nach, dass $1$ eine Nullstelle von $g$ ist
  Setze $1$ in $g (x) = 2 e^{x} - 2 e$ ein: $2 e^{1} - 2 e = 0 ✓$
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  Setze $1$ in $g$ ein.
2. Der Graph von $g$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
  Berechnen Sie ihren Inhalt. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne ihren Inhalt
  Gegeben: $g (x) = 2 e^{x} - 2 e$ und $1$ ist eine Nullstelle von $g$ .
  $\Rightarrow \int_{0}^{1} g (x) d x = {[2 e^{x} - 2 e x]}_{0}^{1} = (2 e - 2 e) - (2 - 0) = - 2$ .
  Die berechnete Fläche liegt unterhalb der x-Achse, d.h. vom berechneten Integral muss der Betrag genommen werden. Der Inhalt der Fläche beträgt $2 F E$ .
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  Gegeben: $g (x) = 2 e^{x} - 2 e$ und $1$ ist eine Nullstelle von $g$ .
  Berechne $\int_{0}^{1} g (x) d x$ . Beachte, dass der Flächeninhalt positiv ist.
3
Wahlpflichtaufgabe 3
Betrachtet werden die Punkte $P (3 | 1 | - 1)$ und $Q (4 | 2 | - 4)$ .
1. Begründen Sie, dass die Punkte $P$ und $Q$ auf derselben Seite bezüglich der xy-Ebene
  liegen. [1 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
  Begründe, dass die Punkte $P$ und $Q$ auf derselben Seite bezüglich der xy-Ebene liegen
  Betrachte die $z$ -Koordinaten der beiden Punkte. Beide Punkte haben bei den $z$ -Koordinaten das gleiche Vorzeichen, d.h. die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf derselben Seite bezüglich der xy-Ebene.
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  Betrachte die $z$ -Koordinaten der beiden Punkte.
2. Die Punkte $P, Q$ und der Koordinatenursprung $O$ sind die Eckpunkte eines
  gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basis $O Q$ die Länge $6 L E$ hat.
  Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen
  Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks
  Die Mitte $M$ der Basis hat die Koordinaten $M (2 | 1 | - 2)$ .
  Dann gilt für den Vektor $\vec{M P} = \vec{O P} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
  $| \vec{M P} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$
  $A_{O Q P} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{O Q} | \cdot | \vec{M P} | = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2}$
  Der Flächeninhalt des Dreiecks $O Q P$ beträgt $3 \cdot \sqrt{2} FE$ .
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  Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ der Basis $O Q$ .
  Die Dreieckshöhe ist dann $| \vec{M P} |$ .
  Berechne den Flächeninhalt der Dreieckfläche $A_{O Q P} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{O Q} | \cdot | \vec{M P} |$ .
4
Wahlpflichtaufgabe 4
Die Ebene $E$ wird durch die Gleichung $\vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ mit $r, s \in ℝ$ beschrieben.
1. Zeigen Sie, dass der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ steht. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Zeige, dass der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ steht
  Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ muss senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren $(\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array})$ und $(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ der Ebene $E$ sein, d.h. das Skalarprodukt muss jeweils gleich null sein.
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) = - 12 + 12 + 0 = 0$ und $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) = 12 - 12 + 0 = 0$
  Damit steht der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ .
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  Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ muss senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren $(\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array})$ und $(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ der Ebene $E$ sein, d.h. das Skalarprodukt muss jeweils gleich null sein.
2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts $P$ mit folgender Eigenschaft:
  Wird der Punkt $P$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt $P$ den Abstand $20 L E$ . [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelungen in der analytischen Geometrie
  Bestimme die Koordinaten eines Punkts $P$
  Ein Punkt der Ebene $E$ ist $Q (1 | - 3 | 0)$ .
  Weiterhin gilt: Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ steht senkrecht zur Ebene $E$ und $| (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .
  Dann folgt: $\vec{O Q} + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = \vec{O P}$ und $| \vec{Q P} | = 10$ .
  Für $\vec{O P}$ erhält man dann: $\vec{O P} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
  Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (9 | 3 | 0)$ .
  Wird der Punkt $P$ an der Ebene $E$ gespiegelt, dann hat der gespiegelte Punkt $P^{'}$ einen Abstand von $20 L E$ zum Punkt $P$ .
  Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Ein Punkt der Ebene $E$ ist $Q (1 | - 3 | 0)$ .
  Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ steht senkrecht zur Ebene $E$ und $| (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .
  Dann folgt: $\vec{O Q} + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = \vec{O P}$ und $| \vec{O P} | = 10$ .
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Wahlpflichtaufgabe 5
Die Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p = 0,5$ .
Abbildung 2
1. Es gilt $P (X = 10) = P (X = 11)$ .
  Begründen Sie, dass $n$ nicht gerade ist. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Begründe, dass $n$ nicht gerade ist
  Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E (X)$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Gibt es zwei gleich große Werte, dann ist der Erwartungswert der Mittelwert der beiden Werte.
  Es ist $p = 0,5$ .
  Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nimmt sowohl bei $k = 10$ und bei $k = 11$ ihren größten Wert an. Daher ist der Erwartungswert $E (X) = n \cdot 0,5$ nicht ganzzahlig.
  Demnach kann $n$ nicht gerade sein.
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  Betrachte die Abbildung. Es gibt zwei Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeitswerten.
  Da $E (X) = n \cdot 0,5$ ist, kann $E (x)$ nicht ganzzahlig sein.
  Was folgt daraus für $n$ ?
2. Es gilt $P (X \geq 9) \approx 0,81$ und $P (X = 12) \approx 0,14$ .
  Berechnen Sie unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 10)$ . [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Berechne unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 10)$
  Es gilt $P (X \geq 9) \approx 0,81$ und $P (X = 12) = P (X = 9) \approx 0,14$ (siehe Abbildung).
  Weiterhin erkennt man aus der Abbildung $P (X \leq 10) = P (X \geq 11) = 0,5$ .
  Dann gilt: $P (X \geq 9) = P (X = 9) + P (X = 10) + P (X \geq 11)$
  Setze die entsprechenden Werte ein und löse nach $P (X = 10)$ auf.
  $0,81 = 0,14 + P (X = 10) + 0,5 \Rightarrow P (X = 10) \approx 0,81 - 0,14 - 0,5 = 0,17$
  Die Wahrscheinlichkeit $P (X = 10)$ beträgt näherungsweise $0,17$ .
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  Es gilt $P (X \geq 9) \approx 0,81$ und $P (X = 12) = P (X = 9) \approx 0,14$ .
  Aus der Abbildung entnimmst Du $P (X \leq 10) = P (X \geq 11) = 0,5$ .
  Es gilt dann: $P (X \geq 9) = P (X = 9) + P (X = 10) + P (X \geq 11)$
  Setze die entsprechenden Werte ein und löse nach $P (X = 10)$ auf.
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Wahlpflichtaufgabe 6
In einer Urne befinden sich $40$ blaue Kugeln.
1. Die $40$ blauen Kugeln in der Urne werden durch rote Kugeln ergänzt. Die Wahrscheinlichkeit, beim zufälligen Ziehen einer Kugel eine blaue Kugel zu erhalten, beträgt nun $80 %$ .
  Bestimmen Sie, wie viele rote Kugeln ergänzt wurden. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Bestimme, wie viele rote Kugeln ergänzt wurden
  Für die Anzahl $r$ der roten Kugel muss gelten:
  $\frac{40}{40 + r}$ $=$ $0,8$
  ↓
  Löse nach $r$ auf.
  $40$ $=$ $0,8 \cdot (40 + r)$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $40$ $=$ $32 + 0,8 r$ $- 32$
  $8$ $=$ $0,8 r$ $: 0,8$
  $10$ $=$ $r$
  Es müssen $10$ rote Kugeln hinzugefügt werden.
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  Löse die Gleichung nach $r$ auf: $\frac{40}{40 + r} = 0,8$
2. In einer anderen Urne befinden sich $40$ blaue und $20$ rote Kugeln.
  (i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden. [2 BE]
  (ii) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele blaue Kugeln bei der Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden.
  Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt, wie viele blaue Kugeln bei der Ziehung von $n$ Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden.
  Die Standardabweichung von $Y$ ist doppelt so groß wie die Standardabweichung von $X$ .
  Geben Sie $n$ an. [1 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  (i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden
  Es sind $n = 60$ Kugeln in der Urne, davon sind $40$ blau $\Rightarrow p_{blau} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
  $P (X = 2) = B (3; \frac{2}{3}; 2) = \frac{4}{9}$ , oder $P (X = 2) = 3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden, beträgt $\frac{4}{9}$ .
  (ii) Gib $n$ an
  Es gilt: $p_{blau} = \frac{2}{3}$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
  Dann folgt: $σ_{X} = \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ und $σ_{Y} = \sqrt{n \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2 n}{9}}$
  Weiterhin gilt: $σ_{Y} = 2 \cdot σ_{X}$
  $\sqrt{\frac{2 n}{9}}$ $=$ $2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$ $()^{2}$
  $\frac{2 n}{9}$ $=$ $4 \cdot \frac{2}{3}$ $: 2$
  $\frac{n}{9}$ $=$ $\frac{4}{3}$ $\cdot 9$
  $n$ $=$ $\frac{4 \cdot 9}{3}$
  $n$ $=$ $12$
  Es ist $n = 12$ .
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  (i)
  Berechne $p_{blau}$ .
  Es ist $n = 3$ .
  Berechne $P (X = 2) = B (3; p_{blau}; 2)$ .
  (ii)
  Es gilt: $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - r)}$
  Berechne $σ_{X}$ und $σ_{Y}$ .
  Löse die Gleichung $σ_{Y} = 2 \cdot σ_{X}$ nach $n$ auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{40}{40 + r}$	$=$	$0,8$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$40$	$=$	$0,8 \cdot (40 + r)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$40$	$=$	$32 + 0,8 r$	$- 32$
$8$	$=$	$0,8 r$	$: 0,8$
$10$	$=$	$r$

$\sqrt{\frac{2 n}{9}}$	$=$	$2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$	$()^{2}$
$\frac{2 n}{9}$	$=$	$4 \cdot \frac{2}{3}$	$: 2$
$\frac{n}{9}$	$=$	$\frac{4}{3}$	$\cdot 9$
$n$	$=$	$\frac{4 \cdot 9}{3}$
$n$	$=$	$12$

Teil A: Wahlpflichtteil

Wahlpflichtaufgabe 1

Bestimme die Stammfunktion H von h, deren Graph durch den Punkt (1|0) verläuft

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Begründen Sie ohne zu rechnen, dass∫−33h(x)dx=0 ist

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Wahlpflichtaufgabe 2

Weise nach, dass 1 eine Nullstelle von g ist

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Berechne ihren Inhalt

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Wahlpflichtaufgabe 3

Begründe, dass die Punkte P und Q auf derselben Seite bezüglich der xy-Ebene liegen

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Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks

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Wahlpflichtaufgabe 4

Zeige, dass der Vektor (430) senkrecht zur Ebene E steht

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Bestimme die Koordinaten eines Punkts P

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Wahlpflichtaufgabe 5

Begründe, dass n nicht gerade ist

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Berechne unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X=10)

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Wahlpflichtaufgabe 6

Bestimme, wie viele rote Kugeln ergänzt wurden

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(i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung von drei Kugeln mit Zurücklegen genau zwei blaue Kugeln gezogen werden

(ii) Gib n an

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Bestimme die Stammfunktion $H$ von $h$ , deren Graph durch den Punkt $(1 | 0)$ verläuft

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass $\int_{- 3}^{3} h (x) d x = 0$ ist

Weise nach, dass $1$ eine Nullstelle von $g$ ist

Begründe, dass die Punkte $P$ und $Q$ auf derselben Seite bezüglich der xy-Ebene liegen

Zeige, dass der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ steht

Bestimme die Koordinaten eines Punkts $P$

Begründe, dass $n$ nicht gerade ist

Berechne unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 10)$

(ii) Gib $n$ an