Begründe, dass zu Beobachtungsbeginn das Wasservolumen im Auffangbecken $190{\text{ m}}^3$ beträgt

Es ist $v(x)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^4+{\displaystyle \frac{50}{3}}{x}^3+190$. Setze $t=0$ in $v(x)$ ein:

$\Rightarrow v(0)=190$

Zu Beobachtungsbeginn beträgt das Wasservolumen im Auffangbecken $190{\text{ m}}^3$.

Berechne das Volumen des Wassers, das in den ersten $\mathrm{1,5}\text{ h}$ nach Beobachtungsbeginn in das Auffangbecken fließt

Setze $t=\mathrm{1,5}$ in $v(x)$ ein:

$v(\mathrm{1,5})=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\mathrm{1,5}}^4+{\displaystyle \frac{50}{3}}\cdot {\mathrm{1,5}}^3+190\approx \mathrm{233,6}$

Da zu Beobachtungsbeginn das Wasservolumen im Auffangbecken $190{\text{ m}}^3$ beträgt, muss dieser Wert von $v(\mathrm{1,5})$ abgezogen werden.

$\text{Zufluss}=v(\mathrm{1,5})-190\approx \mathrm{43,6}$

Das Volumen des Wassers, das in den ersten $\mathrm{1,5}\text{ h}$ nach Beobachtungsbeginn in das Auffangbecken fließt, beträgt rund $44{\text{ m}}^3$.

Zeige, dass die momentane Änderungsrate des Volumens des Wassers im Auffangbecken in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ für den betrachteten Zeitraum durch $r$ beschrieben werden kann

$v(x)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^4+{\displaystyle \frac{50}{3}}{x}^3+190$, berechne $v^{\prime }(x)$:

$v^{\prime }(x)=-10x^3+50x^2=50x^2-10x^3=r(x)$

Weise anhand des gegebenen Terms von $r$ nach, dass für den durch $0<x<5$ beschriebenen Zeitraum das Volumen des Wassers im Auffangbecken zu jedem Zeitpunkt zunimmt

$r(x)=10x^2\cdot (5-x)$

Betrachtet man die beiden Terme von r(x), dann gilt für $0<𝑥<5$, dass die Faktoren $10{𝑥}^2$ und $5-𝑥$ nie negativ werden. Damit ist auch $𝑟(𝑥)$ nie negativ.

Folglich ist $v$ in $0<x<5$ streng monoton wachsend und das Volumen des Wassers nimmt im beschriebenen Zeitraum zu.

Gib die Bedeutung von $t_0$ im Sachzusammenhang an und erläutere den Aufbau der Gleichung in Bezug auf diese Bedeutung

$$190+{\displaystyle {\int }_0^{2}r(x)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_2^t(r(x)-100)\mathrm{d}x=400}}$$

${𝑡}_0$ ist der Zeitpunkt, zu dem sich $400{\mathrm{m}}^3$ Wasser im Wasserbecken befinden würden, wenn nach zwei Stunden die Pumpe eingeschaltet werden würde.

Die beiden ersten Summanden beschreiben das Wasservolumen im Becken in ${\mathrm{m}}^3$ zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn wird eine Pumpe eingeschaltet, die Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate von $100{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ abpumpt.

Die Differenzfunktion $𝑟(𝑥)-100$ beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens bei laufender Pumpe in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

Der Term $${\displaystyle {\int }_2^{𝑡}(𝑟(𝑥)-100)\mathrm{d}x}$$ beschreibt daher die Änderung des Wasservolumens bei laufender Pumpe in ${\mathrm{m}}^3$ bis zum Zeitpunkt $t$.

Weise nach, dass $x_W$ eine Wendestelle von $f$ ist

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

Gegeben: $f^{\prime \prime }(x)=12\cdot x^2-60\cdot x+50$

Berechne $f^{\prime \prime }(x_W)$:

$f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{15-5\sqrt{3}}{6}}\right)=0$

Eine Wendestelle liegt bei $x_W={\displaystyle \frac{15-5\sqrt{3}}{6}}$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{\prime \prime \prime }(x)\ne 0$ erfüllt ist.

Berechne $f^{\prime \prime \prime }(x_W)$:

$f^{\prime \prime \prime }\left({\displaystyle \frac{15-5\sqrt{3}}{6}}\right)=-20\sqrt{3}\approx -\mathrm{34,64}\ne 0$.

Damit ist gezeigt, dass $x_W$ eine Wendestelle von $f$ ist.

Berechne den Inhalt dieses Flächenstücks

Gegeben: $x_W={\displaystyle \frac{15-5\sqrt{3}}{6}}$ und $f(x)=x^2(x-5{)}^2$

Berechne das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{x_W}(f(x_W)-f(x))\mathrm{d}x=\frac{2500\sqrt{3}-1875}{216}\approx \mathrm{11,37}}$$.

Der Inhalt dieses Flächenstücks beträgt rund $\mathrm{11,37}\mathrm{FE}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Skizziere das symmetrische Trapez für $u=\mathrm{1,5}$ in der Abbildung

$A(\mathrm{1,5}|f(\mathrm{1,5}))\Rightarrow A(\mathrm{1,5}|\mathrm{27,56}),$$B(1|0)$, $C(4|0)$ und

$D(5-u|f(5-u))=D(5-\mathrm{1,5}|f(5-\mathrm{1,5}))=D(\mathrm{3,5}|f(\mathrm{3,5}))\Rightarrow D(\mathrm{3,5}|\mathrm{27,56})$

Ermittle einen Term, der den Flächeninhalt des symmetrischen Trapezes in Abhängigkeit von $u$ angibt

$A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{a+c}{2}}\cdot h$

$a=\overline{BC}=3LE,c=\overline{AD}=(5-u)-u=(5-2u)LE,h=f(u)$ ($y$-Koordinate von $A$)

Setze in $A_{\text{Trapez}}$ ein:

$\Rightarrow A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{3+5-2u}{2}}\cdot f(u)={\displaystyle \frac{8-2u}{2}}\cdot f(u)=(4-u)\cdot f(u)$

Der Term, der den Flächeninhalt des symmetrischen Trapezes in Abhängigkeit von $u$ angibt, lautet ${\displaystyle \frac{3+5-2u}{2}}\cdot f(u)$ oder $(4-u)\cdot f(u)$.