Entnimm der Abbildung geeignete ganzzahlige Werte und bestimme einen Funktionsterm $f(x)$ der Funktion $f$

$G_f$ schneidet die x-Achse bei $x=-1$ (einfache Nullstelle).

$G_f$ schneidet die x-Achse bei $x=4$ (doppelte Nullstelle).

Ansatz: $f(x)=a(x+1)(x-4{)}^2$

Setze den Punkt $P(0|2)$ ein:

$2=a(0+1)(0-4{)}^2\Rightarrow 2=16a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{8}}$

$f(x)=\frac{1}{8}(x+1)(x-4{)}^2$

Der Funktionsterm $f(x)$ der Funktion $f$ lautet $f(x)=\frac{1}{8}(x+1)(x-4{)}^2$.

1 Bestimme eine Gleichung der Tangente $G_g$ an $G_f$ im Punkt $P(0|2)$

Gegeben: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(x^3-7x^2+8x+16)$ und $P(0|2)$

Allgemeine Tangentengleichung: $g(x)=mx+b$.

Berechne $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(3x^2-14x+8)$

Es ist $m_g=f^{\prime }(0)$$\Rightarrow f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{8}}(3\cdot 0^2-14\cdot 0+8)={\displaystyle \frac{8}{8}}=1$

$\Rightarrow g(x)=1\cdot x+b$

Setze $P(0|2)$ ein, um $b$ zu bestimmen:

$2=1\cdot 0+b\Rightarrow b=2\Rightarrow g(x)=x+2$

Die Gleichung der Tangente $G_g$ an $G_f$ im Punkt $P(0|2)$ lautet $g(x)=x+2$.

2 Zeige, dass in keinem Punkt des Graphen $G_f$ eine Tangente mit der Steigung $m=-2$ angelegt werden kann

Löse die Gleichung $-2={\displaystyle \frac{1}{8}}(3x^2-14x+8)$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$:

$D=(-14{)}^2-4\cdot 3\cdot 24=196-288=-92<0\Rightarrow$es gibt keine Lösung der quadratischen Gleichung. Somit gibt es keinen Punkt auf $G_f$, an den eine Tangente mit der Steigung $m=-2$ angelegt werden kann.

3 Ermittle die exakten Koordinaten des Wendepunkts von $G_f$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(3x^2-14x+8)\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(6x-14)$

$f^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{1}{8}}(6x-14)\Rightarrow 0=6x-14\Rightarrow x={\displaystyle \frac{14}{6}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$

Es handelt sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, d.h. $G_f$ hat eine Wendestelle bei $x={\displaystyle \frac{7}{3}}$.

$f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{1}{8}({\left(\frac{7}{3}\right)}^3-7\cdot {\left(\frac{7}{3}\right)}^2+8\cdot \left(\frac{7}{3}\right)+16)={\displaystyle \frac{125}{108}}$

$\Rightarrow WP(\frac{7}{3}|\frac{125}{108})$

Die exakten Koordinaten des Wendepunkts von $G_f$ lauten $WP(\frac{7}{3}|\frac{125}{108})$.

4 Zeichne die Gerade $G_h$ in die obige Abbildung ein und schraffiere das Flächenstück, das durch $G_p,G_h$ und die y-Achse im I. Quadranten des Koordinatensystems eingeschlossen wird

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

$$A={\displaystyle {\int }_0^2(p(x)-h(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^2(-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}x+5-(x+2))\mathrm{d}x}}$$

$$A={\displaystyle {\int }_0^2(-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+3)\mathrm{d}x={[-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2+3x]}_0^2=(-1-{\displaystyle \frac{12}{8}}+6)-0={\displaystyle \frac{7}{2}}}$$

Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt ${\displaystyle \frac{7}{2}}\mathrm{FE}$.