Teil 2 Analysis II: mit Hilfsmitteln

Entnimm der Abbildung geeignete ganzzahlige Werte und bestimme einen Funktionsterm $f(x)$ der Funktion $f$

$G_f$ schneidet die x-Achse bei $x=-1$ (einfache Nullstelle).

$G_f$ schneidet die x-Achse bei $x=4$ (doppelte Nullstelle).

Ansatz: $f(x)=a(x+1)(x-4{)}^2$

Setze den Punkt $P(0|2)$ ein:

$2=a(0+1)(0-4{)}^2\Rightarrow 2=16a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{8}}$

$f(x)=\frac{1}{8}(x+1)(x-4{)}^2$

Der Funktionsterm $f(x)$ der Funktion $f$ lautet $f(x)=\frac{1}{8}(x+1)(x-4{)}^2$.

1 Bestimme eine Gleichung der Tangente $G_g$ an $G_f$ im Punkt $P(0|2)$

Gegeben: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(x^3-7x^2+8x+16)$ und $P(0|2)$

Allgemeine Tangentengleichung: $g(x)=mx+b$.

Berechne $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(3x^2-14x+8)$

Es ist $m_g=f^{\prime }(0)$$\Rightarrow f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{8}}(3\cdot 0^2-14\cdot 0+8)={\displaystyle \frac{8}{8}}=1$

$\Rightarrow g(x)=1\cdot x+b$

Setze $P(0|2)$ ein, um $b$ zu bestimmen:

$2=1\cdot 0+b\Rightarrow b=2\Rightarrow g(x)=x+2$

Die Gleichung der Tangente $G_g$ an $G_f$ im Punkt $P(0|2)$ lautet $g(x)=x+2$.

2 Zeige, dass in keinem Punkt des Graphen $G_f$ eine Tangente mit der Steigung $m=-2$ angelegt werden kann

Löse die Gleichung $-2={\displaystyle \frac{1}{8}}(3x^2-14x+8)$:

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$:

$D=(-14{)}^2-4\cdot 3\cdot 24=196-288=-92<0\Rightarrow$es gibt keine Lösung der quadratischen Gleichung. Somit gibt es keinen Punkt auf $G_f$, an den eine Tangente mit der Steigung $m=-2$ angelegt werden kann.

3 Ermittle die exakten Koordinaten des Wendepunkts von $G_f$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(3x^2-14x+8)\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}(6x-14)$

$f^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{1}{8}}(6x-14)\Rightarrow 0=6x-14\Rightarrow x={\displaystyle \frac{14}{6}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$

Es handelt sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, d.h. $G_f$ hat eine Wendestelle bei $x={\displaystyle \frac{7}{3}}$.

$f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{1}{8}({\left(\frac{7}{3}\right)}^3-7\cdot {\left(\frac{7}{3}\right)}^2+8\cdot \left(\frac{7}{3}\right)+16)={\displaystyle \frac{125}{108}}$

$\Rightarrow WP(\frac{7}{3}|\frac{125}{108})$

Die exakten Koordinaten des Wendepunkts von $G_f$ lauten $WP(\frac{7}{3}|\frac{125}{108})$.

4 Zeichne die Gerade $G_h$ in die obige Abbildung ein und schraffiere das Flächenstück, das durch $G_p,G_h$ und die y-Achse im I. Quadranten des Koordinatensystems eingeschlossen wird

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

$$A={\displaystyle {\int }_0^2(p(x)-h(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^2(-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}x+5-(x+2))\mathrm{d}x}}$$

$$A={\displaystyle {\int }_0^2(-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+3)\mathrm{d}x={[-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2+3x]}_0^2=(-1-{\displaystyle \frac{12}{8}}+6)-0={\displaystyle \frac{7}{2}}}$$

Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt ${\displaystyle \frac{7}{2}}\mathrm{FE}$.

Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $k$

Gegeben: $p(t)=\mathrm{3,2}+b\cdot e^{-k\cdot t}$

Es ist $p(0)=6$ und $p(40)=\mathrm{3,5}$.

$p(0)=\mathrm{3,2}+b\cdot e^{-k\cdot 0}=\mathrm{3,2}+b\cdot e^0=6\Rightarrow b=6-\mathrm{3,2}=\mathrm{2,8}$

$\Rightarrow p(t)=\mathrm{3,2}+\mathrm{2,8}\cdot e^{-k\cdot t}$

$p(40)=\mathrm{3,2}+\mathrm{2,8}\cdot e^{-k\cdot 40}=\mathrm{3,5}\Rightarrow -\mathrm{0,3}=-\mathrm{2,8}\cdot e^{-k\cdot 40}$

Die Werte der Parameter $b$ und $k$ sind $b=\mathrm{2,8}$ und $k\approx \mathrm{0,056}$.

1 Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, ab welchem die Zugabe des Sauerteigs möglich ist

Gegeben: $p(t)=\mathrm{3,2}+\mathrm{2,8}\cdot e^{-\mathrm{0,056}\cdot t}$

Berechne $p(t)=4$:

Der Zeitpunkt, ab welchem die Zugabe des Sauerteigs möglich ist, beträgt rund $\mathrm{22,37}$ Stunden.

Berechne die Abnahmegeschwindigkeit des pH-Wertes zu diesem Zeitpunkt

Gegeben: $p(t)=\mathrm{3,2}+\mathrm{2,8}\cdot e^{-\mathrm{0,056}\cdot t}$

Berechne $\dot{p}(t)$, beachte die Kettenregel:

$\dot{p}(t)=\mathrm{2,8}\cdot e^{-\mathrm{0,056}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,056})=-\mathrm{0,1568}\cdot e^{-\mathrm{0,056}\cdot t}$

Dann ist $\dot{p}(\mathrm{22,37})=-\mathrm{0,1568}\cdot e^{-\mathrm{0,056}\cdot \mathrm{22,37}}\approx -\mathrm{0,045}$

Die Abnahmegeschwindigkeit des pH-Wertes zu diesem Zeitpunkt beträgt rund $-\mathrm{0,045}$ pro Stunde.

2 Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $p$ im Bereich $0\le t\le 60$ in ein Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle.

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

Zeige, dass die Maßzahl des Volumens (in ${\mathrm{dm}}^3$) der Tauchflasche in Abhängigkeit vom Zylinderradius $r$ (in $\mathrm{dm}$) durch die Funktion $V$ mit der Funktionsgleichung $V(r)=-{\displaystyle \frac{5}{6}}{r}^3\pi +4r\pi$ beschrieben werden kann

Gegeben: $h(r)={\displaystyle \frac{4}{r}}-{\displaystyle \frac{3r}{2}}$

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Halbkugel}}=\pi r^{2}h+{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3$

Setze $h(r)$ ein:

$V=\pi r^2\cdot ({\displaystyle \frac{4}{r}}-{\displaystyle \frac{3r}{2}})+{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3=4\pi r-{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi r^3+{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3=4\pi r+({\displaystyle \frac{4}{6}}-{\displaystyle \frac{9}{6}})\pi r^3=-{\displaystyle \frac{5}{6}}{r}^3\pi +4r\pi ✓$

Ermittle den Radius $r$, für den das Volumen der Tauchflasche maximal wird

Gegeben: $V(r)=-{\displaystyle \frac{5}{6}}{r}^3\pi +4r\pi$ mit $D=[\mathrm{1,85};\mathrm{1,4}]$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V^{\prime }(r)=0$.

Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung $V^{\prime }(r)=0$.

$V^{\prime }(r)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{r}^2\pi +4\pi$

$0=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{r}^2\pi +4\pi \Rightarrow {\displaystyle \frac{5}{2}}{r}^2\pi =4\pi \Rightarrow r^2={\displaystyle \frac{8}{5}}$

$\Rightarrow r=\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\approx \mathrm{1,26}\in D$ (nur positiver $r$-Wert ist gesucht)

Es handel sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Erstelle eine Monotonietabelle:

$V^{\prime }(1)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot 1^2\cdot \pi +4\pi ={\displaystyle \frac{3}{2}}\pi >0,V^{\prime }(\mathrm{1,3})=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\mathrm{1,3}}^2\cdot \pi +4\pi =-\mathrm{0,225}\pi <0$

$G_V$ hat einen absoluten Hochpunkt an der Stelle $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}$$\Rightarrow V_{\text{max}}=V\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)$.

Berechne die Maßzahl dieses maximalen Volumens

$\Rightarrow V_{\text{max}}=V\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)=-{\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)}^3\pi +4\cdot \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)\pi \approx \mathrm{10,60}$

Die Maßzahl dieses maximalen Volumens beträgt rund $\mathrm{10,60}{\mathrm{dm}}^3$.