Zeige, dass die Maßzahl des Volumens (in ${\mathrm{dm}}^3$) der Tauchflasche in Abhängigkeit vom Zylinderradius $r$ (in $\mathrm{dm}$) durch die Funktion $V$ mit der Funktionsgleichung $V(r)=-{\displaystyle \frac{5}{6}}{r}^3\pi +4r\pi$ beschrieben werden kann

Gegeben: $h(r)={\displaystyle \frac{4}{r}}-{\displaystyle \frac{3r}{2}}$

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Halbkugel}}=\pi r^{2}h+{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3$

Setze $h(r)$ ein:

$V=\pi r^2\cdot ({\displaystyle \frac{4}{r}}-{\displaystyle \frac{3r}{2}})+{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3=4\pi r-{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi r^3+{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3=4\pi r+({\displaystyle \frac{4}{6}}-{\displaystyle \frac{9}{6}})\pi r^3=-{\displaystyle \frac{5}{6}}{r}^3\pi +4r\pi ✓$

Ermittle den Radius $r$, für den das Volumen der Tauchflasche maximal wird

Gegeben: $V(r)=-{\displaystyle \frac{5}{6}}{r}^3\pi +4r\pi$ mit $D=[\mathrm{1,85};\mathrm{1,4}]$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V^{\prime }(r)=0$.

Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung $V^{\prime }(r)=0$.

$V^{\prime }(r)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{r}^2\pi +4\pi$

$0=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{r}^2\pi +4\pi \Rightarrow {\displaystyle \frac{5}{2}}{r}^2\pi =4\pi \Rightarrow r^2={\displaystyle \frac{8}{5}}$

$\Rightarrow r=\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\approx \mathrm{1,26}\in D$ (nur positiver $r$-Wert ist gesucht)

Es handel sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Erstelle eine Monotonietabelle:

$V^{\prime }(1)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot 1^2\cdot \pi +4\pi ={\displaystyle \frac{3}{2}}\pi >0,V^{\prime }(\mathrm{1,3})=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\mathrm{1,3}}^2\cdot \pi +4\pi =-\mathrm{0,225}\pi <0$

$G_V$ hat einen absoluten Hochpunkt an der Stelle $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}$$\Rightarrow V_{\text{max}}=V\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)$.

Berechne die Maßzahl dieses maximalen Volumens

$\Rightarrow V_{\text{max}}=V\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)=-{\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)}^3\pi +4\cdot \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{5}}}\right)\pi \approx \mathrm{10,60}$

Die Maßzahl dieses maximalen Volumens beträgt rund $\mathrm{10,60}{\mathrm{dm}}^3$.