Teil 2 Analysis II: mit Hilfsmitteln

Beim Backen eines Roggenbrotes kann Sauerteig als Triebmittel für den Brotteig

verwendet werden. Für den Sauerteig setzt man Mehl und Wasser im selben Verhältnis zueinander an. Milchsäurebakterien in Mehl und Wasser sorgen dafür, dass im Gemisch die notwendige Milchsäure entsteht.

Ein frisch angesetzter Sauerteig besitzt zum Zeitpunkt $t_{0} = 0$ einen pH-Wert (Säuregrad) von $6,0$ . Nach $40$ Stunden hat der Sauerteig einen pH-Wert von $3,5$ .

Das Durchsäuern des Gemisches lässt sich näherungsweise durch die Funktion $p$ mit der Funktionsgleichung $p (t) = 3,2 + b \cdot e^{- k \cdot t}$ mit $t \in ℝ_{0}^{+}$ und $b, k \in ℝ$ beschreiben. Dabei steht

die Variable $t$ für die Zeit in Stunden ab dem Zeitpunkt $t_{0} = 0$ . Der Funktionswert von $p$ gibt den pH-Wert zum Zeitpunkt $t$ an.

Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie

Ihre Ergebnisse sinnvoll.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $b$ und $k$ . [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $k$
Gegeben: $p (t) = 3,2 + b \cdot e^{- k \cdot t}$
Es ist $p (0) = 6$ und $p (40) = 3,5$ .
$p (0) = 3,2 + b \cdot e^{- k \cdot 0} = 3,2 + b \cdot e^{0} = 6 \Rightarrow b = 6 - 3,2 = 2,8$
$\Rightarrow p (t) = 3,2 + 2,8 \cdot e^{- k \cdot t}$
$p (40) = 3,2 + 2,8 \cdot e^{- k \cdot 40} = 3,5 \Rightarrow - 0,3 = - 2,8 \cdot e^{- k \cdot 40}$
$- 0,3$ $=$ $- 2,8 \cdot e^{- k \cdot 40}$ $: (- 2,8)$
↓
Löse nach $k$ auf.
$\frac{3}{28}$ $=$ $e^{- k \cdot 40}$ $\ln$
$\ln (\frac{3}{28})$ $=$ $- k \cdot 40$ $: (- 40)$
$- \frac{\ln (\frac{3}{28})}{40}$ $=$ $k$
$k$ $\approx$ $0,056$
Die Werte der Parameter $b$ und $k$ sind $b = 2,8$ und $k \approx 0,056$ .
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Gegeben: $p (t) = 3,2 + b \cdot e^{- k \cdot t}$
Es ist $p (0) = 6$ und $p (40) = 3,5$ . Bestimme $b$ und $k$ .
Im Folgenden gilt $p (t) = 3,2 + 2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$ .
1 Der Sauerteig kann ab einem pH-Wert von $4,0$ dem Brotteig zugegeben werden.
Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, ab welchem die Zugabe des Sauerteigs möglich ist. Berechnen Sie die Abnahmegeschwindigkeit des pH-Wertes zu diesem Zeitpunkt.
$[$ Mögliches Teilergebnis: $\dot{p} (t) = 0,1568 e^{- 0,056 \cdot t}]$ [6 BE]
2 Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $p$ im Bereich $0 \leq t \leq 60$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dazu für beide Achsen einen geeigneten Maßstab.
[4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
1 Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, ab welchem die Zugabe des Sauerteigs möglich ist
Gegeben: $p (t) = 3,2 + 2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$
Berechne $p (t) = 4$ :
$3,2 + 2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$ $=$ $4$ $- 3,2$
↓
Löse nach $t$ auf.
$2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$ $=$ $0,8$ $: 2,8$
$e^{- 0,056 \cdot t}$ $=$ $\frac{8}{28}$ $\ln$
$- 0,056 \cdot t$ $=$ $\ln (\frac{8}{28})$ $: (- 0,056)$
$t$ $=$ $- \frac{\ln (\frac{8}{28})}{0,056}$
$\approx$ $22,37$
Der Zeitpunkt, ab welchem die Zugabe des Sauerteigs möglich ist, beträgt rund $22,37$ Stunden.
Berechne die Abnahmegeschwindigkeit des pH-Wertes zu diesem Zeitpunkt
Gegeben: $p (t) = 3,2 + 2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$
Berechne $\dot{p} (t)$ , beachte die Kettenregel:
$\dot{p} (t) = 2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t} \cdot (- 0,056) = - 0,1568 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$
Dann ist $\dot{p} (22,37) = - 0,1568 \cdot e^{- 0,056 \cdot 22,37} \approx - 0,045$
Die Abnahmegeschwindigkeit des pH-Wertes zu diesem Zeitpunkt beträgt rund $- 0,045$ pro Stunde.
2 Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $p$ im Bereich $0 \leq t \leq 60$ in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
$t$
$0$
$10$
$20$
$22,37$
$30$
$40$
$50$
$60$
$p (t)$
$6$
$4,8$
$4,11$
$4$
$3,72$
$3,5$
$3,37$
$3,3$
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
$G_{p}$
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1
Berechne $p (t) = 4$ $\Rightarrow t_{1}$
Berechne $\dot{p} (t)$ , beachte die Kettenregel.
Berechne $\dot{p} (t_{1})$ .
2
Erstelle eine Wertetabelle.
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

$t$	$0$	$10$	$20$	$22,37$	$30$	$40$	$50$	$60$
$p (t)$	$6$	$4,8$	$4,11$	$4$	$3,72$	$3,5$	$3,37$	$3,3$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$- 0,3$	$=$	$- 2,8 \cdot e^{- k \cdot 40}$	$: (- 2,8)$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\frac{3}{28}$	$=$	$e^{- k \cdot 40}$	$\ln$
$\ln (\frac{3}{28})$	$=$	$- k \cdot 40$	$: (- 40)$
$- \frac{\ln (\frac{3}{28})}{40}$	$=$	$k$
$k$	$\approx$	$0,056$

$3,2 + 2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$	$=$	$4$	$- 3,2$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$2,8 \cdot e^{- 0,056 \cdot t}$	$=$	$0,8$	$: 2,8$
$e^{- 0,056 \cdot t}$	$=$	$\frac{8}{28}$	$\ln$
$- 0,056 \cdot t$	$=$	$\ln (\frac{8}{28})$	$: (- 0,056)$
$t$	$=$	$- \frac{\ln (\frac{8}{28})}{0,056}$
	$\approx$	$22,37$

Bestimme die Werte der Parameter b und k

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1 Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, ab welchem die Zugabe des Sauerteigs möglich ist

Berechne die Abnahmegeschwindigkeit des pH-Wertes zu diesem Zeitpunkt

2 Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion p im Bereich 0≤t≤60 in ein Koordinatensystem

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Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $k$

2 Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $p$ im Bereich $0 \leq t \leq 60$ in ein Koordinatensystem