Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p_{1}$ hat die Funktionsgleichung $y = x^{2} - 8 x + 12$ .
Die verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel $p_{2}$ hat den Scheitelpunkt $S_{2} (1 | - 7)$ .
- Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $Q_{1}$ der beiden Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ .
Die Parabel $p_{1}$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}$ .
- Berechne die Koordinaten von $N_{1}$ und $N_{2}$ .
Die Punkte $N_{1}, N_{2}$ und $Q_{1}$ bilden ein Dreieck.
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $N_{1} Q_{1} N_{2}$ .
Der Punkt $Q_{1}$ bewegt sich auf der Parabel $p_{2}$ unterhalb der $x$ -Achse. Dadurch entsteht der Punkt $Q_{2}$ und somit das Dreieck $N_{1} Q_{2} N_{2}$ .
- Für welche Lage von $Q_{2}$ wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
- Berechne diesen maximalen Flächeninhalt.
(5 Pkt.)

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $Q_{1}$ der beiden Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ .
Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel $p_{2}$ :
Die Scheitelform einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = (x - x_{s})^{2} + y_{s}$
Einsetzen des der Koordinaten des Scheitels $S_{2}$ in die Scheitelform.
$p_{2} : y = (x - 1)^{2} - 7$ ausmultipliziert: $p_{2} : y = x^{2} - 2 x - 6$
Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt,
ist der Öffnungsfaktor $a = 1$ .
Gleichsetzen der Funktionsgleichungen $p_{1}$ und $p_{2}$ .
$x^{2} - 8 x + 12 = x^{2} - 2 x - 6$
$x^{2} - 8 x + 12$ $=$ $x 2 - 2 x - 6$ $- x^{2}$
↓
subtrahiere
$- 8 x + 12$ $=$ $- 2 x - 6$ $+ 2 x - 12$
↓
addiere und subtrahiere
$- 6 x$ $=$ $- 18$ $: (- 6)$
↓
dividiere
$x$ $=$ $3$
Einsetzen von $x = 3$ in die Funktionsgleichung $p_{1}$ und berechnen von $y$ .
$y = 3^{2} - 8 \cdot 3 + 12$
$y=9-24+12$
$y = - 3$
Koordinaten des Schnittpunktes:
$Q_{1} (3 | - 3)$
Berechnen der Koordinaten von $N_{1}$ und $N_{2}$ .
$x^{2} - 8 x + 12 = 0$
Lösen der quadratischen Gleichung.
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung $a x^{2} + b x + c = 0$
mit der Mitternachtsformel, lauten:
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$
$x_{1} = \frac{8 - 4}{2} \Rightarrow x_{1} = 2$
$x_{2} = \frac{8 + 4}{2} \Rightarrow x_{2} = 6$
Koordinaten der Nullstellen:
$N_{1} (2 | 0)$
$N_{2} (6 | 0)$

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $N_{1} Q_{1} N_{2}$ .
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:
$A_{D r e i e c k} = \frac{g \cdot h}{2}$
Einsetzen der bekannten Werte: (siehe Bild 1)
$A_{D r e i e c k} = \frac{4 \cdot 3}{2}$
$A_{D r e i e c k} = 6 F E$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $N_{1} Q_{1} N_{2}$ beträgt: $6 F E$ .
Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $N_{1} Q_{2} N_{2}$ .
Das Dreieck $N_{1} Q_{2} N_{2}$ hat den größten Flächeninhalt bei: $Q_{2} (1 | - 7)$
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:
$A_{D r e i e c k} = \frac{g \cdot h}{2}$
Einsetzen der bekannten Werte: (siehe Bild 2)
$A_{D r e i e c k} = \frac{4 \cdot 7}{2}$
$A_{D r e i e c k} = 14 F E$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $N_{1} Q_{2} N_{2}$ beträgt: $14 F E$ .
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Das regelmäßige Sechseck und das gleichschenklige Dreieck $ABC$ haben die Seite $A B$ gemeinsam.
Es gilt: $A B = 12,4 cm$
- Berechne den Umfang des Dreiecks $A B C$ .
Tom behauptet: „Der Flächeninhalt des Sechsecks ist dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ ."
- Hat Tom Recht? Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
( 5 Pkt.)

Berechnen des Umfangs des Dreiecks ABC.
Folgende Größen sind bekannt:
$A B = 12,4 cm A M = 6,2 cm M C = 2 \cdot M S A C = B C$
Berechnen von $M S$ :
Das Dreieck $AMS$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligem Dreieck gilt:
$\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} = t a n (α)$
Angewandt auf das Dreieck $AMS$ :
$\frac{M S}{A M} = t a n (60 °) \Rightarrow M S = A M \cdot t a n 60 °$
$M S = 6,2 \cdot 1,7321$
$M S = 10,74 cm$
Berechnen von $M C$ :
$M C = 2 \cdot M S \Rightarrow M C = 2 \cdot 10,74$
$M C = 21,48 cm$
Berechnen von $A C$ :
Das Dreieck $AMC$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Der Satz des Pythagoras lautet:
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
Angewandt auf das Dreieck $AMC$ :
${(A C)}^{2} = {(A M)}^{2} + {(M C)}^{2} \Rightarrow A C = \sqrt{{(A M)}^{2} + {(M C)}^{2}}$
$A C = \sqrt{{6,2}^{2} + {21,48}^{2}}$
$A C = \sqrt{499,83}$
$A C = 22,36 cm$
Umfang des Dreiecks $ABC$ :
$U_{A B C} = A B + A C + B C$
$U_{A B C} = 12,4 + 22,36 + 22,36$
$U_{A B C} = 57,12 cm$
Der Umfang des Dreiecks $ABC$ beträgt: $57,12 cm$ .
Hinweis:
Wir haben die Zwischenergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet und damit weitergerechnet, wenn Du mit den Werten rechnest, die der Rechner liefert, erhältst Du ein geringfügig abweichendes Ergebnis.
Überprüfung von Tom's Behauptung:
Formel zur Berechnung des Flächeninhalt des Sechsecks:
$A_{S e c h s e c k} = 6 \cdot \frac{A B \cdot M S}{2}$
$A_{S e c h s e c k} = 3 \cdot A B \cdot M S$
Formel zur Berechnung des Flächeninhalt des Dreiecks:
$A_{D r e i e c k} = \frac{A B \cdot 2 \cdot M S}{2}$
$A_{D r e i e c k} = A B \cdot M S$

$A_{S e c h s e c k} = 3 \cdot A_{D r e i e c k}$ , Tom's Behauptung ist richtig.
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$x^{2} - 8 x + 12$	$=$	$x 2 - 2 x - 6$	$- x^{2}$
	↓	subtrahiere
$- 8 x + 12$	$=$	$- 2 x - 6$	$+ 2 x - 12$
	↓	addiere und subtrahiere
$- 6 x$	$=$	$- 18$	$: (- 6)$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$3$

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts Q1 der beiden Parabeln p1 und p2.

Berechnen der Koordinaten von N1 und N2.

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks N1Q1N2.

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks N1Q2N2.

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Berechnen des Umfangs des Dreiecks ABC.

Überprüfung von Tom's Behauptung:

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $Q_{1}$ der beiden Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ .

Berechnen der Koordinaten von $N_{1}$ und $N_{2}$ .

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $N_{1} Q_{1} N_{2}$ .

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $N_{1} Q_{2} N_{2}$ .