Ein Unternehmen verarbeitet in einer 1. Produktionsstufe die Rohstoffe R₁, R₂ und R₃ zu den Zwischenprodukten Z₁, Z₂ und Z₃. In einer 2. Produktionsstufe werden daraus die Endprodukte E₁, E₂ und E₃ hergestellt.

1. Matrizen der Materialverflechtung

• Matrix A (Rohstoffe → Zwischenprodukte): Gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) des jeweiligen Rohstoffs (R₁ bis R₃) für 1 ME des jeweiligen Zwischenprodukts (Z₁ bis Z₃) benötigt werden: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 4\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\begin{array}{c}\text{zu }{Z}_1\\ \text{zu }{Z}_2\\ \text{zu }{Z}_3\end{array}\begin{array}{c}(R_1)\\ (R_2)\\ (R_3)\end{array}$ • Matrix B (Zwischenprodukte → Endprodukte): Gibt an, wie viele ME des jeweiligen Zwischenprodukts (Z₁ bis Z₃) für 1 ME des jeweiligen Endprodukts (E₁ bis E₃) benötigt werden: $B=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 2& 0& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\begin{array}{c}(Z_1)\\ (Z_2)\\ (Z_3)\end{array}\begin{array}{c}\text{zu }{E}_1\\ \text{zu }{E}_2\\ \text{zu }{E}_3\end{array}$

2. Preis- bzw. Vektordaten

• Rohstoffpreis-Vektor ${\overrightarrow{p}}_R$ (Kosten je ME der Rohstoffe R₁, R₂, R₃ in Euro): ${\overrightarrow{p}}_R=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

3. Fragestellungen

1. Gesamtverflechtungsmatrix C: Berechnen Sie die Gesamtmatrix C = A ⋅ B, die direkt angibt, wie viele ME der Rohstoffe R₁ bis R₃ für 1 ME der Endprodukte E₁ bis E₃ benötigt werden. 2. Rohstoffbedarf bei Auftrag: Ein Kunde bestellt einen Vektor von Endprodukten: $\overrightarrow{e}=\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 15\end{array}\right)$ (10 ME von E₁, 20 ME von E₂, 15 ME von E₃). Wie viele ME der Rohstoffe werden insgesamt benötigt?

1. Rohstoffkosten: Welche Gesamtkosten entstehen für die Rohstoffe bei diesem Auftrag?

Lösung

Teil 1: Gesamtverflechtungsmatrix C = A ⋅ B berechnen

Wir multiplizieren die beiden Matrizen A und B: $C=A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 4\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 2& 0& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ • Zeile 1 von C: • Spalte 1: (1 ⋅ 3) + (0 ⋅ 2) + (2 ⋅ 1) = 3 + 0 + 2 = 5 • Spalte 2: (1 ⋅ 1) + (0 ⋅ 0) + (2 ⋅ 2) = 1 + 0 + 4 = 5 • Spalte 3: (1 ⋅ 1) + (0 ⋅ 2) + (2 ⋅ 3) = 1 + 0 + 6 = 7 • Zeile 2 von C: • Spalte 1: (2 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2) + (4 ⋅ 1) = 6 + 2 + 4 = 12 • Spalte 2: (2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (4 ⋅ 2) = 2 + 0 + 8 = 10 • Spalte 3: (2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 2) + (4 ⋅ 3) = 2 + 2 + 12 = 16 • Zeile 3 von C: • Spalte 1: (1 ⋅ 3) + (2 ⋅ 2) + (3 ⋅ 1) = 3 + 4 + 3 = 10 • Spalte 2: (1 ⋅ 1) + (2 ⋅ 0) + (3 ⋅ 2) = 1 + 0 + 6 = 7 • Spalte 3: (1 ⋅ 1) + (2 ⋅ 2) + (3 ⋅ 3) = 1 + 4 + 9 = 14 Ergebnis für Matrix C: $C=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 7\\ 12& 10& 16\\ 10& 7& 14\end{array}\right)$

Teil 2: Rohstoffbedarf $\overrightarrow{r}$ für den Auftrag $\overrightarrow{e}$

Der Rohstoffvektor $\overrightarrow{r}$ ergibt sich aus $\overrightarrow{r}=C\cdot \overrightarrow{e}$: $\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 7\\ 12& 10& 16\\ 10& 7& 14\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 15\end{array}\right)$ • Rohstoff R₁: (5 ⋅ 10) + (5 ⋅ 20) + (7 ⋅ 15) = 50 + 100 + 105 = 255 ME • Rohstoff R₂: (12 ⋅ 10) + (10 ⋅ 20) + (16 ⋅ 15) = 120 + 200 + 240 = 560 ME • Rohstoff R₃: (10 ⋅ 10) + (7 ⋅ 20) + (14 ⋅ 15) = 100 + 140 + 210 = 450 ME Der Rohstoffbedarf beträgt: $\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}255\\ 560\\ 450\end{array}\right)\text{ ME}$

Teil 3: Rohstoffkosten berechnen

Wir multiplizieren den Rohstoffpreis-Vektor ${\overrightarrow{p}}_R$ mit dem Rohstoffbedarf-Vektor $\overrightarrow{r}$: $\text{Kosten}={\overrightarrow{p}}_R^T\cdot \overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}255\\ 560\\ 450\end{array}\right)$ $\text{Kosten}=(2\cdot 255)+(3\cdot 560)+(1\cdot 450)=510+1680+450=2640\text{ €}$ Die Gesamtkosten für die Rohstoffe betragen 2.640 Euro.

$\left(\begin{array}{ccc}7& 4& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}5& 5& 7\\ 12& 10& 16\\ 10& 7& 14\end{array}\right)$

Um diese Multiplikation durchzuführen, multiplizieren wir den Zeilenvektor ($1\times 3$) mit den einzelnen Spalten der Matrix ($3\times 3$). Das Ergebnis ist ein neuer Zeilenvektor mit 3 Elementen ($1\times 3$).

Schritt-für-Schritt-Berechnung:

1. Erste Spalte: $7\cdot 5+4\cdot 12+5\cdot 10=35+48+50=\mathrm{𝟏𝟑𝟑}$ 2. Zweite Spalte: $7\cdot 5+4\cdot 10+5\cdot 7=35+40+35=\mathrm{𝟏𝟏𝟎}$ 3. Dritte Spalte: $7\cdot 7+4\cdot 16+5\cdot 14=49+64+70=\mathrm{𝟏𝟖𝟑}$

Ergebnis:

$\left(\begin{array}{ccc}7& 4& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}5& 5& 7\\ 12& 10& 16\\ 10& 7& 14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{𝟏𝟑𝟑}& \mathrm{𝟏𝟏𝟎}& \mathrm{𝟏𝟖𝟑}\end{array}\right)$