9Vermehrter Grundwert

Beispielaufgabe

Im Jahre 2012 ist die Anzahl der verkauften Smartphones in Deutschland im Vergleich zum Vorjahr um etwa $36~\%$ auf 21,6 Millionen Stück gestiegen. Wie viele Smartphones wurden 2011 verkauft?

Balkendiagramm mit Anzahl der verkauften Smartphones in den Jahren 2008 bis 2014

Es handelt sich bei der Verkaufszahl von 2012 um eine Steigerung ausgehend von 2011, also müssen die 21,6 Millionen von 2012 ein vermehrter Grundwert sein.

Gegeben: $p = 36~\%$ ; $G$ $^+$ = $21{,}6$ Millionen

Gesucht: $G$

Ähnlich wie schon beim verminderten Grundwert kommst du mit der bekannten Formel $G= \frac{W}{p}$ nicht weiter.

Wieder musst du dein Wissen "umsortieren", um die Lösung zu finden.

Du kannst erkennen: $G$ $^+ \widehat=$ $100~\% + 36~\% = 136~\%$

In der Aufgabe ist aber nach dem Grundwert $G$ gefragt.

Wir wissen: 21,6 Millionen = $G$ $^+ \widehat=$ $136~\%$

Löse nun mit dem Dreisatz:

Jetzt weißt du: $G = 15 882 352{,}9$ Smartphones

Runde das Ergebnis auf Millionen und eine Nachkommastelle, damit dein Ergebnis zu der Angabe passt.

Antwort: Im Jahre 2011 wurden ca. 15,9 Millionen Smartphones verkauft.

Alternativlösung (wieder eine Art Abkürzung)

Du weißt: $G^+= G + W ; W = p \cdot G$

Jetzt kannst du die beiden Formeln zusammenbringen, indem du für den Prozentwert $W$ das Produkt aus Prozentsatz $p$ und dem Grundwert $G$ einsetzt.

$G$ $^+$ $= G + W = G + (p \cdot G) = G + p \cdot G$

Du kannst $G$ ausklammern

$G^+$ $= G \cdot 1 + p \cdot G = G (1 + p)$

Wendest du diese Erkenntnis auf die Aufgabe von oben an. Erhältst du:

$G$ $^+$ $= G (1 + p)$

$21{,}6$ Millionen $= G (1 + 36~\%) = G (1 + 0{,}36)$

$21{,}6$ Millionen $= G \cdot 1{,}36$

$\Rightarrow$ $G =$ $21{,}6$ Millionen $: 1{,}36$

$\Rightarrow$ $G = 15{,}9$ Millionen

Merke

Man nennt $(1 + p)$ auch den Wachstumsfaktor, den man für den vermehrten Grundwert verwendet. Es gilt $G$ $^+$ $= G (1 + p)$ .

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