Hier die Ergebnisse für $2^{n}2^n$ für $n\in \{0,\dots ,20\}n\backslash in\backslash \{0,\dots ,20\backslash \}$:

$2^0=12^1=22^2=42^3=82^4=162^5=322^6=642^7=1282^8=2562^9=5122^{10}=10242^{11}=20482^{12}=40962^{13}=81922^{14}=163842^{15}=327682^{16}=655362^{17}=1310722^{18}=2621442^{19}=5242882^{20}=10485762^0=1\backslash \backslash 2^1=2\backslash \backslash 2^2=4\backslash \backslash 2^3=8\backslash \backslash 2^4=16\backslash \backslash 2^5=32\backslash \backslash 2^6=64\backslash \backslash 2^7=128\backslash \backslash 2^8=256\backslash \backslash 2^9=512\backslash \backslash 2^\{10\}=1\; 024\backslash \backslash 2^\{11\}=2\; 048\backslash \backslash 2^\{12\}=4\; 096\backslash \backslash 2^\{13\}=8\; 192\backslash \backslash 2^\{14\}=16\; 384\backslash \backslash 2^\{15\}=32\; 768\backslash \backslash 2^\{16\}=65\; 536\backslash \backslash 2^\{17\}=131\; 072\backslash \backslash 2^\{18\}=262\; 144\backslash \backslash 2^\{19\}=524\; 288\backslash \backslash 2^\{20\}=1\; 048\; 576\backslash \backslash$

Wenn du nun die Näherung $2^{10}\approx 10002^\{10\}\; \backslash approx\; 1\; 000$ für $2^{32}2^\{32\}$ und $2^{64}2^\{64\}$ anwendest, erhältst du:

$2^{32}=2^{10}\cdot 2^{10}\cdot 2^{10}\cdot 2^2\approx 1000\cdot 1000\cdot 1000\cdot 4=4000000000=4\cdot {10}^{9}2^\{32\}\; =\; 2^\{10\}\; \backslash cdot\; 2^\{10\}\; \backslash cdot\; 2^\{10\}\; \backslash cdot\; 2^2\; \backslash approx\; 1000\; \backslash cdot\; 1000\; \backslash cdot\; 1000\; \backslash cdot\; 4\; =\; 4000000000\; =\; 4\; \backslash cdot\; 10^\{9\}$

Im Vergleich dazu der richtige Wert:

$2^{32}=42949672962^\{32\}\; =\; 4294967296$

Und:

$2^{64}=2^{32}\cdot 2^{32}\approx 4\cdot {10}^9\cdot 4\cdot {10}^9=16\cdot {10}^{18}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{19}2^\{64\}\; =\; 2^\{32\}\; \backslash cdot\; 2^\{32\}\; \backslash approx\; 4\; \backslash cdot\; 10^\{9\}\; \backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; 10^\{9\}\; =\; 16\; \backslash cdot\; 10^\{18\}\; =\; 1\{,\}6\; \backslash cdot\; 10^\{19\}$

Der richtige Wert ohne Näherung ist:

$2^{64}=18446744073709551616\approx \mathrm{1,8447}\cdot {10}^{19}2^\{64\}=\; 18446744073709551616\; \backslash approx\; 1\{,\}8447\backslash cdot10^\{19\}$