1. Potenzen und Polynome

Im einfachsten Fall entsteht eine Potenz, wenn du eine Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizierst. Und ein Polynom entsteht, indem du Vielfache von Potenzen einer Variablen $x$ aufsummierst.

Potenzen und Potenzrechenregeln

DefinitionPotenz

Für eine reelle Zahl $a \in ℝ$ und eine natürliche Zahl $n \in ℕ$ ist die Potenz $a^{n}$ wie folgt definiert:

a^{n} : = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}

Rechengesetze

Für die so definierten Potenzen gelten die Potenzgesetze: Für beliebige Zahlen $a, b \in ℝ$ und $m, n \in ℕ$ gilt

Nummer	Formel	Beispiel
1.1	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$10^{2} \cdot 10^{4} = 10^{4 + 2} = 10^{6}$
1.2	$a^{m} \cdot b^{m} = (a \cdot b)^{m}$	$3^{5} \cdot 6^{5} = (3 \cdot 6)^{5} = 18^{5}$
1.3	$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$	$(10^{2})^{3} = 10^{2 \cdot 3} = 10^{6}$

Rekursive Definition

Du kannst Potenzen auch rekursiv definieren (wieder ist $a \in ℝ$ und $n \in ℕ$ ):

a^{n} : = {\begin{matrix} a & für n = 1, \\ a \cdot a^{n - 1} & für n > 1. \end{matrix}

"Definition für den Computer"

Für dich als Informatiker ist diese Definition vielleicht angenehmer, weil sie sich unmittelbar in eine rekursive Funktion überführen lässt - hier in Pascal programmiert:

function Potenz(a: real; n: integer): real;
begin
    if n=1 then Potenz := a
    else Potenz := a*Potenz(a, n-1) 
end;

Die erste Definition überführst du dagegen in ein iteratives Programm:

function Potenz (a: real; n: integer): real;
var
    p: real;
    i: integer;
begin
    p := 1.0;
    for i := 1 to n do p := p*a;
    Potenz := p;
end;

Die "Definition" für den Computer ist sehr formal, der Computer benötigt immer eine eindeutige Berechnungsvorschrift. Die mathematische Definition ist auch formal, und in diesem Fall ist sie auch konstruktiv, denn sie sagt auch, wie die Potenz berechnet wird.

Rationale Exponenten - Brüche als Exponenten

Für eine positive Zahl $a \in ℝ$ und $n \in ℕ$ ist $a^{\frac{1}{n}}$ diejenige positive Zahl $b$ , für die $b^{n} = a$ gilt.

Für $n = 2$ bekommst du die übliche Wurzel (die Quadratwurzel). Entsprechend ist die $n$ -te Wurzel definiert durch

\sqrt[n]{a} : = a^{\frac{1}{n}}

Diese Definition ist insofern sinnvoll, weil die Regel (1.3), die ursprünglich nur für natürliche Zahlen $n$ und $m$ galt, nun auch auf den Fall $m = 1 / n$ ausgedehnt werden kann.

(1.3) führt somit direkt zu einer Definition von $a^{\frac{p}{q}}$ mit positiver Zahl $a$ und $p, q \in ℕ$ :

a^{\frac{p}{q}} : = {(a^{\frac{1}{q}})}^{p}

Negative Exponenten

Wenn du Regel (1.1) anwendest, findest du auch sinnvolle Definitionen für den Exponenten 0 und für negative Exponenten:

a^{0} \cdot a^{n} = a^{0 + n} = a^{n}

Daher muss $a^{0} = 1$ sein.

a^{- n} \cdot a^{n} = a^{- n + n} = a^{0} = 1

Daher muss

a^{- n} : = \frac{1}{a^{n}}

sein.

Die Definition von $a^{n}$ für positives $a$ lässt sich auch auf beliebige reelle Exponenten (z.B. $\sqrt{2}$ ) erweitern. Die Potenzgesetze (1.1) bis (1.3) gelten weiterhin.

Polynome

Nun kennst du Potenzen. Als nächstes baust du daraus Polynome zusammen.

DefinitionPolynom

Ein Term der Form

a_{0} \cdot x^{0} + a_{1} \cdot x^{1} + . . . + a_{n} \cdot x^{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

heißt Polynom. Hier bei ist $x$ eine Variable. Die $n + 1$ reellen Zahlen $a_{i}$ heißen Koeffizienten.

Zunächst ist ein Polynom einfach nur ein formaler Term. Später kannst du ein Polynom $P$ auch als Polynomfunktion $P (x)$ auffassen und auswerten, indem du für die Variable $x$ eine Zahl einsetzt.

Manchmal werden Polynome mit der höchsten Potenz zuerst geschrieben, manchmal mit der niedrigsten Potenz zuerst.

Beispiele für Polynome

$7 x + 3 = 7 \cdot x^{1} + 3 \cdot x^{0}$
$15 x^{3} + 7,5 x^{2} + 4 = 15 \cdot x^{3} + 7,5 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{1} + 4 \cdot x^{0}$
$5 = 5 \cdot x^{0}$
$0 = 0 \cdot x^{0}$ (das Nullpolynom)

Grad eines Polynoms

DefinitionGrad eines Polynoms

Der Grad eines Polynoms $P$ (in Zeichen: $\deg (P)$ ) ist die höchste vorkommende Potenz von $x$ mit Koeffizient ungleich Null. Eine Ausnahme ist das Nullpolynom $P = 0$ , es hat keine Potenz mit Koeffizient ungleich 0, daher gilt von $\deg (0) : = - \infty$ ("minus unendlich").

Es gilt also für alle Polynome außer dem Nullpolynom:

\deg (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}) \leq n

wobei die Kleiner-Beziehung gilt, wenn $a_{n} = 0$ ist, und die Gleichheit für $a_{n} \neq 0$ .

Für die Beispiele von eben gilt:

$\deg (7 x + 3) = 1$
$\deg (15 x^{3} + 7,5 x^{2} + 4) = 3$
$\deg (5) = 0$
$\deg (0) = - \infty$

Rechenregeln für den Grad eines Polynoms

Für Polynome $P_{n}$ und $P_{m}$ vom Grad $n$ bzw. vom Grad $m$ gilt

$\deg (P_{n} \cdot P_{m}) = \deg (P_{n}) + \deg (P_{m}) = n + m$
$\deg (P_{n} + P_{m}) \leq \max {\deg (P_{n}), \deg (P_{m})} = \max {n, m}$

Insbesondere für das Nullpolynom gelten diese Regeln ebenso:

$\deg (0 \cdot P_{m}) = \deg (0) + \deg (P_{m}) = - \infty + m = - \infty = \deg (0)$
$\deg (0 + P_{m}) = \max {\deg (0), \deg (P_{m})} = \max {- \infty, m} = m = d e g (P_{m})$

Rechnen mit Polynomen

Addition von Polynomen: Du addierst die Koeffizienten gleicher Potenzen:
$(x^{2} + 2 x + 1) + (x^{2} - x + 3) = 2 x^{2} + x + 4$
Multiplikation von Polynomen: Die Klammern werden ausmultipliziert:
$(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x^{2} - x + 3) = x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 3$
Division mit Rest gibt es auch. Die Division geht ganz analog zum schriftlichen Dividieren ganzer Zahlen.
$(x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4) = (x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x^{2} - x + 3) - 3 x + 1$

Division mit Rest bei natürlichen Zahlen	Division mit Rest bei Polynomen
Zu zwei Zahlen $n, m \in ℕ$	Zu zwei Polynomen $N$ und $M$ mit Koeffizienten aus $ℝ$
gibt es eindeutig bestimmte Zahlen $q, r \in ℕ_{𝟘}$ mit $r < m$ ,	gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q, R$ mit Koeffizienten aus $ℝ$ mit $\deg (R) < \deg (M)$ ,
sodass $n = q \cdot m + r$ gilt.	sodass $N = Q \cdot M + R$ gilt.
Dann ist $q$ der Quotient und $r$ der Rest der ganzzahligen Division von $n$ durch $m$ .	Dann ist $Q$ der Quotient und $R$ der Rest der Polynomdivision von $N$ durch $M$ .

Spezialfälle

Wichtige Spezialfälle sind die Polynome von kleinem Grad.

Im Fall von $\deg (P) = 1$ heißt $P$ linear, ist also von der Form $P = a \cdot x + b$ . Lineare Polynome kommen in linearen Gleichungen von der Form

a x + b = 0

vor. Diese Gleichungen sind leicht zu lösen. Eine Lösung dieser Gleichung entspricht einer Nullstelle des Polynoms (siehe unten), wenn du es als Polynomfunktion $P (x)$ auffasst.

Im Fall von $\deg (P) = 2$ heißt das Polynom $P$ quadratisch, ist also von der Form

$P = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ .

Dazu gehören die quadratischen Gleichungen (hier für $a = 1$ )

x^{2} + p x + q = 0,

mit den Lösungen

x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q},

sofern $p^{2} \geq 4 q$ (andernfalls sind die Lösungen komplexe Zahlen).

Nullstellen

Eine Nullstelle einer Funktion $f (x)$ ist eine Zahl $x_{0}$ , für die gilt $f (x_{0}) = 0$ . Wenn du also für die Variable $x$ die Zahl $x_{0}$ einsetzt und als Ergebnis 0 erhältst, dann ist die Zahl $x_{0}$ eine Nullstelle der Funktion $f$ .

Die Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ eines quadratischen Polynoms liefern eine Zerlegung in Linearfaktoren:

x^{2} + p x + q = (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) .

Entsprechendes gilt auch für Polynome höheren Grades:

Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ und sei $x_{1}$ eine Nullstelle von $P$ (also $P (x_{1}) = 0$ ). Dann kannst du einen Linearfaktor $x - x_{1}$ abspalten (durch Polynomdivision):

P (x) = Q (x) \cdot (x - x_{1})

mit einem Polynom $Q (x)$ vom Grad $n - 1$ .

Das ist nützlich: Die Nullstellen von $P$ sind nun $x_{1}$ und die Nullstellen eines Polynoms $Q$ von kleinerem Grad, damit hast du das Problem also auf ein kleineres zurückgeführt.

Polynome sind eine wichtige Klassen von Funktionen. Sie dienen als Bausteine, um kompliziertere Funktionen anzunähern (Potenzreihe, Computergraphik, Bildverarbeitung).

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