Aufgaben zum Thema Potenzen und Polynome

1
Berechne $2^{n}$ für $n=0\ldots 20$ .
Für größere Zweierpotenzen ist die Faustregel " $2^{10}$ oder $1000$ - das ist doch praktisch dasselbe" nützlich. Gib damit Näherungen für $2^{32}$ und $2^{64}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen und Polynome
Hier die Ergebnisse für $2^{n}$ für $n\in\{0,…,20\}$ :
$2^0=1\\2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4=16\\2^5=32\\2^6=64\\2^7=128\\2^8=256\\2^9=512\\2^{10}=1 024\\2^{11}=2 048\\2^{12}=4 096\\2^{13}=8 192\\2^{14}=16 384\\2^{15}=32 768\\2^{16}=65 536\\2^{17}=131 072\\2^{18}=262 144\\2^{19}=524 288\\2^{20}=1 048 576\\$
Wenn du nun die Näherung $2^{10} \approx 1 000$ für $2^{32}$ und $2^{64}$ anwendest, erhältst du:
$2^{32} = 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^2 \approx 1000 \cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 4 = 4000000000 = 4 \cdot 10^{9}$
Im Vergleich dazu der richtige Wert:
$2^{32} = 4294967296$
Und:
$2^{64} = 2^{32} \cdot 2^{32} \approx 4 \cdot 10^{9} \cdot 4 \cdot 10^{9} = 16 \cdot 10^{18} = 1{,}6 \cdot 10^{19}$
Der richtige Wert ohne Näherung ist:
$2^{64}= 18446744073709551616 \approx 1{,}8447\cdot10^{19}$
2
Wie viele verschiedene Zustände kannst du mit $n$ Bits darstellen? Speziell: Wenn du ganze Zahlen (bei $0$ beginnend) in $32$ Bit speicherst, wie weit kannst du damit zählen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen und Polynome
Bezeichne mit $z (n)$ die Anzahl von verschiedenen Zuständen bei $n$ Bits. Dann gilt: Ein Bit hat zwei verschiedene Zustände, nämlich $0$ und $1$ . Also gilt $z (1) = 2$ . Wenn du ein weiteres Bit hinzufügst, erhältst du doppelt so viele Zustände wie vorher, da für jeden bisherigen Zustand das neue Bit entweder $0$ oder $1$ kann.
Du erkennst: Der Wert $z (n)$ ergibt sich aus der rekursiven Definition von $2^{n}$ , daher gilt: $z (n) = 2^{n}$
Wenn du nun speziell den Fall von 32 Bits betrachtest, so kannst du $z (32) = 2^{32}$ Zustände darstellen. Die größte Zahl ist allerdings $z (32) - 1 = 4294967295$ , da du mit $0$ anfängst zu zählen.
3
Berechne $\displaystyle \left(\sum_{i=0}^n x^i\right)\cdot(x-1)$ und stelle damit eine geschlossene Formel (d.h. ohne Summenzeichen) zur Berechnung von $\displaystyle\sum_{i=0}^n x^i$ für $x\ne 1$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen und Polynome
Um den geforderten Term zu berechnen, multiplizierst du erst aus:
$\displaystyle \sum_{i=0}^nx^i(x-1)=\sum_{i=1}^{n+1}x^i-\sum_{i=0}^nx^i$
Du erkennst, dass sich Großteil der Summen überschneidet:
$\displaystyle \sum^{n+1}_{i=1}x^i-\sum^n_{i=0}x^i=x^{n+1}+(\sum^n_{i=1}x^i-\sum^n_{i=1}x^i)-x^0$
Wenn du diesen entfernst, bleibt:
$\displaystyle x^{n+1}+(\sum^n_{i=1}x^i-\sum^n_{i=1}x^i)-x^0=x^{n+1}+0-1=x^{n+1}-1$
Nun formst du um:
$\displaystyle \sum^n_{i=0}x^i(x-1)=x^{n+1}-1$
$\displaystyle \sum^n_{i=0}x^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$
Das ist die Formel für die endliche geometrische Partialsumme.
4
Für welche ganzen Zahlen ist $2^{n} > n^{2}$ ? (Probieren ist hier besser als rechnen!)

Gegeben ist die Funktion: $f\left(x\right)=2^x$ für die ganzen Zahlen $- 1000, . . ., 10$

Diskutiere den Satz: "Der Graph der Exponentialfunktion ergibt einen rechten Winkel".
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Zuerst lohnt es sich, den Graphen der Funktion $f (x)$ in ein passendes Koordinatensystem zu zeichnen:
Dabei erkennt man, dass der Graph $G_{f}$ in seinem Verlauf dem negativen Teil der x-Achse und dem positiven Teil der y-Achse folgt.
Berechnet man die gegebenen Endpunkte, ergeben sich folgende Werte:
$2^{-1000} \approx 0$
$2^{10} = 1024$
Die beiden Punkte liegen also ungefähr bei $(0 ∣ 1000)$ und $(- 1000 ∣ 0)$ und bilden mit dem Ursprung ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die beiden Katheten, an denen der Graph anliegt, einen rechten Winkel bilden.
Man muss jedoch beachten, dass vor allem der Punkt $(0 ∣ 1000)$ ziemlich stark gerundet ist. Der eigentliche Punkt auf dem Graphen liegt weiter oben und weiter rechts, weshalb der Winkel in Wirklichkeit um ein gutes halbes Grad größer als $90 °$ ist.
Insgesamt kann man also sagen, dass der Graph der Funktion zwar einem rechten Winkel ähnelt, aber es eben doch kein perfekter $90 °$ -Winkel ist.
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Erstelle eine Skizze der Funktion oder benutze einen Funktionsplotter
Erkläre die Argumente, die für oder gegen die Behauptung sprechen

Bestimme die kleinste Zahl $x_{0}$ , so dass für alle $x\geq x_0$ gilt: $2^x \geq 16x^3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Um $x_{0}$ zu finden, setzt man $2^{x}$ und $16 x^{3}$ gleich und stellt nach $x$ um.

$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 16 \ x^3$	$\displaystyle \log_2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 {16 \ x^3}$
	↓	Logarithmus-Regel: Produkt zu Summe
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 16 + \log_2 x^3$
	↓	Logarithmus-Regel: Potenz zu Produkt
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4 + 3\cdot \log_2 x$

Jetzt muss man ausprobieren, bis man den richtigen Wert für $x$ gefunden hat.

Da man bei $\log_2 x$ nur positive Werte für $x$ nur positive Werte einsetzen kann, muss $x$ positiv sein. Außerdem muss $x$ eine Zweierpotenz sein.

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$
$4 + 3\cdot \log_2 x$	$4$	$7$	$10$	$13$	$16$

$x_{0}$ hat den Wert $16$ .

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Wie ändert sich die Antwort in b), wenn die rechte Seite ( $16 x^{3}$ ) mit $2^{13}=8192$ multipliziert wird, also die Ungleichung $2^x \geq 131072x^3$ betrachtet wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Hier geht man genau wie in Teilaufgabe b) vor, man ersetzt nur $16 x^{3}$ durch $131072 x^{3}$ .

$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 131072 \ x^3$	$\displaystyle \log_2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 {131072 \ x^3}$
	↓	Logarithmus-Regel: Produkt zu Summe
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 131072 + \log_2 x^3$
	↓	Logarithmus-Regel: Potenz zu Produkt
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 17 + 3\cdot \log_2 x$

Jetzt muss man ausprobieren, bis man den richtigen Wert für $x$ gefunden hat.

Da man bei $\log_2 x$ nur positive Werte für $x$ nur positive Werte einsetzen kann, muss $x$ positiv sein. Außerdem muss $x$ eine Zweierpotenz sein.

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$
$17 + 3\cdot \log_2 x$	$17$	$20$	$23$	$26$	$29$	$32$

Hier hat $x_{0}$ den Wert $32$ .

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Gegeben sind die beiden Funktionen $f(x)=6\cdot x^2$ und $g(x)=2\cdot x^3$ .

Skizziere beide Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Erstellen von Wertetabellen
Zuerst setzt man ein paar Werte in die beiden Funktionen ein und schreibt sie in eine Tabelle:
$f(x) = 6 \cdot x^2$ :
x
$- 1$
$- 0,5$
$0$
$0,5$
$1$
f(x)
$6$
$1,5$
$0$
$1,5$
$6$
$g(x) = 2 \cdot x^3$ :
x
$- 1$
$- 0,5$
$0$
$0,5$
$1$
f(x)
$- 2$
$- 0,25$
$0$
$0,25$
$2$
Eintragen der Werte in ein Koordinatensystem
Man markiert die zuvor markierten Werte und verbindet sie:
Fertigstellen der Skizze
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Berechne einzelne Werte der Funktion
Markiere sie in einem Koordinatensystem
Verbinde die Punkte

x	$- 1$	$- 0,5$	$0$	$0,5$	$1$
f(x)	$6$	$1,5$	$0$	$1,5$	$6$

x	$- 1$	$- 0,5$	$0$	$0,5$	$1$
f(x)	$- 2$	$- 0,25$	$0$	$0,25$	$2$

Für welche x ist $f (x) = g (x)$ ? Für welche ist $f (x) > g (x)$ und für welche $f (x) < g (x)$ ?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle g(x)$
$\displaystyle 6 \cdot x^2$	$=$	$\displaystyle 2 \cdot x^3$	$\displaystyle / \, 6 \cdot x^2$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot x^3}{6 \cdot x^2}$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot x$	$\displaystyle \cdot \, 3$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle f(x)$	$>$	$\displaystyle g(x)$
$\displaystyle 6 \cdot x^2$	$>$	$\displaystyle 2 \cdot x^3$	$\displaystyle / \, 6 \cdot x^2$
$\displaystyle 1$	$>$	$\displaystyle \frac{2\cdot x^3}{6 \cdot x^2}$
$\displaystyle 1$	$>$	$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot x$	$\displaystyle \cdot \, 3$
$\displaystyle 3$	$>$	$\displaystyle x$

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Erstellen von Wertetabellen

Eintragen der Werte in ein Koordinatensystem

Fertigstellen der Skizze

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Funktionen gleichsetzen

Ungleichung aufstellen

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