Aufgaben zum Thema Potenzen und Polynome

Gegeben sind die beiden Funktionen $f (x) = 6 \cdot x^{2}$ und $g (x) = 2 \cdot x^{3}$ .

Skizziere beide Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Erstellen von Wertetabellen
Zuerst setzt man ein paar Werte in die beiden Funktionen ein und schreibt sie in eine Tabelle:
$f (x) = 6 \cdot x^{2}$ :
x
$- 1$
$- 0,5$
$0$
$0,5$
$1$
f(x)
$6$
$1,5$
$0$
$1,5$
$6$
$g (x) = 2 \cdot x^{3}$ :
x
$- 1$
$- 0,5$
$0$
$0,5$
$1$
f(x)
$- 2$
$- 0,25$
$0$
$0,25$
$2$
Eintragen der Werte in ein Koordinatensystem
Man markiert die zuvor markierten Werte und verbindet sie:
Fertigstellen der Skizze
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Berechne einzelne Werte der Funktion
Markiere sie in einem Koordinatensystem
Verbinde die Punkte
Für welche x ist $f (x) = g (x)$ ? Für welche ist $f (x) > g (x)$ und für welche $f (x) < g (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Funktionen gleichsetzen
An den Graphen kann man schon einen Wert ablesen, bei dem die beiden Funktionen den gleichen Wert haben, nämlich bei $x = 0$ . Um weitere Werte zu bestimmen setzt man die Funktionen gleich:
$f (x)$ $=$ $g (x)$
$6 \cdot x^{2}$ $=$ $2 \cdot x^{3}$ $/ 6 \cdot x^{2}$
$1$ $=$ $\frac{2 \cdot x^{3}}{6 \cdot x^{2}}$
$1$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot x$ $\cdot 3$
$3$ $=$ $x$
Bei den x-Werten $0$ und $3$ schneiden sich die Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ .
Ungleichung aufstellen
Um herauszufinden, für welche $x$ -Werte die Werte von $f (x)$ größer (bzw. kleiner) als die von $g (x)$ sind, stellt man eine Ungleichung auf:
$f (x)$ $>$ $g (x)$
$6 \cdot x^{2}$ $>$ $2 \cdot x^{3}$ $/ 6 \cdot x^{2}$
$1$ $>$ $\frac{2 \cdot x^{3}}{6 \cdot x^{2}}$
$1$ $>$ $\frac{1}{3} \cdot x$ $\cdot 3$
$3$ $>$ $x$
Für $x < 3$ (außer bei $x = 0$ ) ist $f (x) > g (x)$ . Umgekehrt ist $f (x)$ für $x > 3$ kleiner als $g (x)$ .
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x	$- 1$	$- 0,5$	$0$	$0,5$	$1$
f(x)	$6$	$1,5$	$0$	$1,5$	$6$

x	$- 1$	$- 0,5$	$0$	$0,5$	$1$
f(x)	$- 2$	$- 0,25$	$0$	$0,25$	$2$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$6 \cdot x^{2}$	$=$	$2 \cdot x^{3}$	$/ 6 \cdot x^{2}$
$1$	$=$	$\frac{2 \cdot x^{3}}{6 \cdot x^{2}}$
$1$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x$	$\cdot 3$
$3$	$=$	$x$

Erstellen von Wertetabellen

Eintragen der Werte in ein Koordinatensystem

Fertigstellen der Skizze

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Funktionen gleichsetzen

Ungleichung aufstellen

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