Winkel

Man kann jetzt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. Das geschieht immer gegen den Uhrzeigersinn.

Rechts im Bild kannst du sehen, dass es dafür zwei Möglichkeiten gibt: Den kleineren Winkel %%\color{#009999} \varphi%% und den größeren Winkel %%\color{#FF6600} {\varphi'}%%. Man gibt aber normalerweise immer nur den kleineren an.

Es gilt immer: %%\color{#009999} \varphi + \color{#FF6600} {\varphi'} = 360^\circ%%.

Winkel

Die Berechnung des Winkels zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% geht folgendermaßen:

$$\ \ \ \ \cos(\color{#009999} \varphi) = \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$$

beziehungsweise

$$\ \ \ \ \color{#009999} \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} \right)$$

%%%%
Dabei steht das "%%\circ%%" für das Skalarprodukt.

"%%\cos^{-1}%%" ist die inverse Kosinus-Funktion: der Arkuskosinus. Das bedeutet insbesondere, dass $$\ \ \ \ \cos^{-1}(\cos(\color{#009999} \varphi)) = \color{#009999} \varphi$$

Der größere Winkel lässt sich dann so berechnen:

$$\ \ \ \ \color{#ff6600} {\varphi'} = 360^\circ - \color{#009999} \varphi$$

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