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Beziehungen zwischen Vektoren und Flächenberechnung (Vektoren in der Ebene III)

9Beispiel: Winkel

Beispiel

Gegeben seien die beiden Vektoren u⃗=(24)\vec u = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} und  v⃗=(51)\ \vec v = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}. Man soll nun den Winkel φ\color{#009999} \varphi zwischen u⃗\vec u und v⃗\vec v ausrechnen.

Winkel2

Dazu benutzt man die soeben gelernte Formel:

    cos⁡(φ)=u⃗∘v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\displaystyle \ \ \ \ \cos(\color{#009999} \varphi) = \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}

Einsetzen:

    cos⁡(φ)=(24)∘(51)∣(24)∣⋅∣(51)∣=2⋅5+4⋅122+42⋅52+12=10+420⋅26=7130\displaystyle \ \ \ \ \cos(\color{#009999} \varphi) = \frac{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\right|} = \frac{2 \cdot 5 + 4 \cdot 1}{\sqrt{2^2+4^2} \cdot \sqrt{5^2+1^2}} = \frac{10+4}{\sqrt{20 \cdot 26}} = \frac{7}{\sqrt{130}}

Daraus folgt:

    φ=cos⁡−1(7130)≈52,13∘\displaystyle \ \ \ \ \color{#009999} \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{130}} \right) \approx \color{#009999} {52{,}13^\circ}

Der gesuchte Winkel beträgt also 52,13∘52{,}13^\circ. Falls auch der größere Winkel gefragt ist, kann man ihn jetzt ganz einfach angeben:

    φ′=360∘−φ≈307,87∘\displaystyle \ \ \ \ \color{#ff6600} {\varphi'} = 360^\circ - \color{#009999} \varphi \approx \color{#ff6600} {307{,}87^\circ}

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