Gesucht: Wert des Terms $\text{T}$

Damit du nicht jeden Summanden einzeln per Hand ausrechnen musst, versuche ein Muster zu erkennen! Betrachte dazu zunächst nur die ersten Summanden!

$\def\arraystretch{1.25} \left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} 2^0 = 1\\ 2^1 = \color{#006400}{2} \end{array} \right\} \color{#CC0000}{3}\\ \;\; 2^2 = \color{#006400}{4}\end{array}\right\} \color{#CC0000}{7}\\\quad\;2^3 = \color{#006400}{8}\end{array}\right\} \\\qquad...$

Du erkennst, dass sich der $\color{#CC0000}{\text{Wert der Summe}}$ jeweils ergibt, wenn du bei der $\color{#006400}{\text{höchsten vorkommenden Zweierpotenz}}$ den Exponenten um $1$ erhöhst und anschließend vom Ergebnis $1$ subtrahierst.

Formuliere diese Erkenntnis mathematisch!

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} && 2^0 + 2^{\color{#009999}{1}} \hphantom{{}+2^2}\hphantom{{}+2^3} &= 2^{\color{#009999}{2}} - 1 \\ &&2^0 + 2^1 + 2^{\color{#009999}{2}} \hphantom{{}+2^3}&= 2^{\color{#009999}{3}} - 1\\&&2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^{\color{#009999}{3}} &= 2^{\color{#009999}{4}} - 1\\ &&&… \end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}&&2^0 + \ldots + 2^{\color{#009999}{63}} \phantom{+2^4}&= 2^{\color{#009999}{64}} - 1\end{array}$

Berechne schließlich den Wert des Terms! Da die meisten Taschenrechner nicht so viele Stellen anzeigen können, benutze ein geeignetes Computeralgebrasystem (CAS), wie z. B. WolframAlpha.