Die Steigung der Geraden ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha ={\tan }^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})=30°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\begin{array}{rcl}{x}^{\prime }& =& \cos (2\cdot \alpha )\cdot x+\sin (2\cdot \alpha )\cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin (2\cdot \alpha )\cdot x-\cos (2\cdot \alpha )\cdot y\end{array}$

Setze den Winkel $\alpha =30°$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{lllll}{x}^{\prime }& =& cos(2\cdot 30°)\cdot x+sin(2\cdot 30°)\cdot y& =& \frac{1}{2}\cdot x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y\\ y^{\prime }& =& sin(2\cdot 30°)\cdot x-cos(2\cdot 30°)\cdot y& =& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x-\frac{1}{2}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|4)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& \frac{1}{2}\cdot 3+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4& =& \frac{3}{2}+2\cdot \sqrt{3}\\ y^{\prime }& =& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3-\frac{1}{2}\cdot 4& =& \frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2\end{array}$

$\Rightarrow P^{\prime }(\frac{3}{2}+2\cdot \sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (2\cdot \alpha )& \sin (2\cdot \alpha )\\ \sin (2\cdot \alpha )& -\cos (2\cdot \alpha )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze den Winkel $\alpha =30°$ in die Matrix ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (60°)& \sin (60°)\\ \sin (60°)& -\cos (60°)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|4)$ in den Vektor ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}+2\cdot \sqrt{3}\\ \frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2\end{array}\right)$

$\Rightarrow P^{\prime }(\frac{3}{2}+2\cdot \sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)$

Die Steigung der Geraden ist $2-\sqrt{3}$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha ={\tan }^{-1}(2-\sqrt{3})=15°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& \cos (2\cdot \alpha )\cdot x+\sin (2\cdot \alpha )\cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin (2\cdot \alpha )\cdot x-\cos (2\cdot \alpha )\cdot y\end{array}$

Setze den Winkel $\alpha =15°$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& \cos (2\cdot 15°)\cdot x+\sin (2\cdot 15°)\cdot y& =& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin (2\cdot 15°)\cdot x-\cos (2\cdot 15°)\cdot y& =& \frac{1}{2}\cdot x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(2|-5)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot (-5)& =& \sqrt{3}-\frac{5}{2}\\ y^{\prime }& =& \frac{1}{2}\cdot 2-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-5)& =& 1+\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\end{array}$

$\Rightarrow P^{\prime }(\sqrt{3}-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt{3}}{2})$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (2\cdot \alpha )& \sin (2\cdot \alpha )\\ \sin (2\cdot \alpha )& -\cos (2\cdot \alpha )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze den Winkel $\alpha =15°$ in die Matrix ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (30°)& \sin (30°)\\ \sin (30°)& -\cos (30°)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(2|-5)$ in den Vektor ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}-\frac{5}{2}\\ 1+\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$

$\Rightarrow P^{\prime }(\sqrt{3}-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt{3}}{2})$

Die Steigung der Geraden ist $-1$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha ={\tan }^{-1}(-1)=-45°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& \cos (2\cdot \alpha )\cdot x+\sin (2\cdot \alpha )\cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin (2\cdot \alpha )\cdot x-\cos (2\cdot \alpha )\cdot y\end{array}$

Setze den Winkel $\alpha =-45°$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& \cos (2\cdot -45°)\cdot x+\sin (2\cdot -45°)\cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin (2\cdot -45°)\cdot x-\cos (2\cdot -45°)\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{1}{2}|3)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& -3\\ y^{\prime }& =& -\frac{1}{2}\end{array}$

$\Rightarrow P^{\prime }(-3|-\mathrm{0,5})$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (2\cdot \alpha )& \sin (2\cdot \alpha )\\ \sin (2\cdot \alpha )& -\cos (2\cdot \alpha )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze den Winkel $\alpha =-45°$ in die Matrix ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (-90°)& \sin (-90°)\\ \sin (-90°)& -\cos (-90°)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{1}{2}|3)$ in den Vektor ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 3\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

$\Rightarrow P^{\prime }(-3|-\mathrm{0,5})$

Die Steigung der Geraden ist $-\sqrt{3}$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha ={\tan }^{-1}(-\sqrt{3})=120°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& =& \cos (2\cdot \alpha )\cdot x+\sin (2\cdot \alpha )\cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin (2\cdot \alpha )\cdot x-\cos (2\cdot \alpha )\cdot y\end{array}$

Setze den Winkel $\alpha =120°$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& \cos (2\cdot 120°)\cdot x+\sin (2\cdot 120°)\cdot y& =& (-\frac{1}{2})\cdot x+(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin (2\cdot 120°)\cdot x-\cos (2\cdot 120°)\cdot y& =& (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot x-(-\frac{1}{2})\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\sqrt{3}|1)$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& (-\frac{1}{2})\cdot \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1& =& -\sqrt{3}\\ y^{\prime }& =& (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot \sqrt{3}+\frac{1}{2}\cdot 1& =& -1\end{array}$

$\Rightarrow P^{\prime }(-\sqrt{3}|-1)$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (2\cdot \alpha )& \sin (2\cdot \alpha )\\ \sin (2\cdot \alpha )& -\cos (2\cdot \alpha )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze den Winkel $\alpha =120°$ in die Matrix ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (240°)& \sin (240°)\\ \sin (240°)& -\cos (240°)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die Koordinaten des Punktes $A(\sqrt{3}|1)$ in den Vektor ein.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}-\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ -1\end{array}\right)$

$\Rightarrow P^{\prime }(-\sqrt{3}|-1)$