Die Steigung der Geraden ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha =\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})= 30°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\ y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y \end{array}$

Setze den Winkel $\alpha = 30°$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lllll} x' &=& cos (2\cdot 30°)\cdot x + sin(2\cdot 30°)\cdot y &=& \frac{1}{2}\cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y\\y' &=& sin (2\cdot 30°)\cdot x - cos(2\cdot 30°)\cdot y &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x - \frac{1}{2}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|4)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} x' &=& \frac{1}{2}\cdot 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 &=& \frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}\\y' &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot 4 &=& \frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2\end{array}$

$\Rightarrow P'(\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze den Winkel $\alpha = 30°$ in die Matrix ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(60°) & \sin(60°) \\ \sin(60°) & -\cos(60°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|4)$ in den Vektor ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\4\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}\\\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2} -2\end{pmatrix}$

$\Rightarrow P'(\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)$

Die Steigung der Geraden ist $2-\sqrt{3}$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha = \tan^{-1}(2-\sqrt{3}) = 15°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y\end{array}$

Setze den Winkel $\alpha = 15°$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot 15°)\cdot x + \sin(2\cdot 15°)\cdot y &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot y\\y' &=& \sin (2\cdot 15°)\cdot x - \cos(2\cdot 15°)\cdot y &=& \frac{1}{2}\cdot x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(2|-5)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot (-5) &=& \sqrt{3} - \frac{5}{2}\\y' &=& \frac{1}{2}\cdot 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-5) &=& 1 + \frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\end{array}$

$\Rightarrow P'(\sqrt3-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt3}{2})$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze den Winkel $\alpha = 15°$ in die Matrix ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(30°) & \sin(30°) \\ \sin(30°) & -\cos(30°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(2|-5)$ in den Vektor ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}2 \\-5\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sqrt{3} - \frac{5}{2} \\1 + \frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$

$\Rightarrow P'(\sqrt3-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt3}{2})$

Die Steigung der Geraden ist $-1$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha =\tan^{-1}(-1)= -45°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y\end{array}$

Setze den Winkel $\alpha = -45°$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot -45°)\cdot x + \sin(2\cdot -45°)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot -45°)\cdot x - \cos(2\cdot -45°)\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{1}{2}|3)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& -3\\y' &=& -\frac{1}{2}\end{array}$

$\Rightarrow P'(-3|-0{,}5)$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze den Winkel $\alpha = -45°$ in die Matrix ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(-90°) & \sin(-90°) \\ \sin(-90°) & -\cos(-90°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1 \\-1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{1}{2}|3)$ in den Vektor ein.

$\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\3\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

$\Rightarrow P'(-3|-0{,}5)$

Die Steigung der Geraden ist $-\sqrt{3}$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha =\tan^{-1}(-\sqrt{3})= 120°$ ist.

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y\end{array}$

Setze den Winkel $\alpha = 120°$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot 120°)\cdot x + \sin(2\cdot 120°)\cdot y &=& (-\frac{1}{2})\cdot x + (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot y\\y' &=& \sin (2\cdot 120°)\cdot x - \cos(2\cdot 120°)\cdot y &=& (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot x - (-\frac{1}{2})\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\sqrt{3}|1)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& (-\frac{1}{2}) \cdot\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 &=& -\sqrt{3}\\y' &=& (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2}\cdot 1 &=& -1\end{array}$

$\Rightarrow P'(-\sqrt3|-1)$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze den Winkel $\alpha = 120°$ in die Matrix ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(240°) & \sin(240°) \\ \sin(240°) & -\cos(240°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten des Punktes $A(\sqrt{3}|1)$ in den Vektor ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\1\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3} -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\sqrt{3}\\-1\end{pmatrix}$

$\Rightarrow P'(-\sqrt3|-1)$