Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Wie gut kennst du dich mit dem Spiegeln aus? Lerne mit diesen Aufgaben, Punkte und Geraden an Ursprungsgeraden zu spiegeln!

1
Spiegle den Punkt $P$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Koordinaten des Bildpunktes $P'$ an.
Gib den Punkt $P'$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(-2|0{,}5)$
1. $P(2|3)$
  $h:y= \frac{1}{4}x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
  Der Punkt $P(2|3)$ soll an der Geraden $h:y=\frac{1}{4}x$ gespiegelt werden:
  Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\tan \alpha= m_h$
  $\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)$
  $\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(\frac{1}{4})$
  $\Leftrightarrow \alpha =14°$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 28° & \sin 28°\\\sin 28° & -\cos28°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}88 & 0{,}47\\0{,}47 & -0{,}88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3{,}17\\ -1{,}7 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(3{,}17|-1{,}7)$
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2. $P(1|-3)$
  $h:y=-\frac{1}{4}x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
  Der Punkt $P(1|-3)$ soll an der Geraden $h:y=-\frac{1}{4}x$ gespiegelt werden:
  Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\tan \alpha= m_h$
  $\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)$
  $\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(-\frac{1}{4})$
  $\Leftrightarrow \alpha =166°$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 332° & \sin 332°\\\sin 332° & -\cos332°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}88 & -0{,}47\\-0{,}47 & -0{,}88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2{,}29\\ 2{,}17 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(2{,}29|2{,}17)$
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3. $P(-1|-2)$
  $h:y=\frac{2}{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
  Der Punkt $P(-1|-2)$ soll an der Geraden $h:y=\frac{2}{3}x$ gespiegelt werden:
  Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\tan \alpha= m_h$
  $\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)$
  $\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(\frac{2}{3})$
  $\Leftrightarrow \alpha =33{,}69°$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 67{,}38° & \sin 67{,}38°\\\sin 67{,}38° & -\cos67{,}38°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}38 & 0{,}92\\0{,}92 & -0{,}38\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2{,}22\\ -0{,}16 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(-2{,}22|-0{,}16)$
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2
Spiegle den Punkt $P$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Koordinaten des Bildpunktes $P'$ an.
1. $P(3|4)$ , $h(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha =\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})= 30°$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\ y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y \end{array}$
  Setze den Winkel $\alpha = 30°$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lllll} x' &=& cos (2\cdot 30°)\cdot x + sin(2\cdot 30°)\cdot y &=& \frac{1}{2}\cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y\\y' &=& sin (2\cdot 30°)\cdot x - cos(2\cdot 30°)\cdot y &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x - \frac{1}{2}\cdot y\end{array}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|4)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} x' &=& \frac{1}{2}\cdot 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 &=& \frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}\\y' &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot 4 &=& \frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2\end{array}$
  $\Rightarrow P'(\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze den Winkel $\alpha = 30°$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(60°) & \sin(60°) \\ \sin(60°) & -\cos(60°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|4)$ in den Vektor ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\4\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}\\\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2} -2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)$
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2. $P (2|-5)$ , $h:y=(2-\sqrt{3})x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $2-\sqrt{3}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha = \tan^{-1}(2-\sqrt{3}) = 15°$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y\end{array}$
  Setze den Winkel $\alpha = 15°$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot 15°)\cdot x + \sin(2\cdot 15°)\cdot y &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot y\\y' &=& \sin (2\cdot 15°)\cdot x - \cos(2\cdot 15°)\cdot y &=& \frac{1}{2}\cdot x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y\end{array}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P(2|-5)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot (-5) &=& \sqrt{3} - \frac{5}{2}\\y' &=& \frac{1}{2}\cdot 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-5) &=& 1 + \frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\end{array}$
  $\Rightarrow P'(\sqrt3-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt3}{2})$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze den Winkel $\alpha = 15°$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(30°) & \sin(30°) \\ \sin(30°) & -\cos(30°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P(2|-5)$ in den Vektor ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}2 \\-5\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sqrt{3} - \frac{5}{2} \\1 + \frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(\sqrt3-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt3}{2})$
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3. $P(\frac{1}{2}|3)$ , $h:y=-x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $-1$ . Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha =\tan^{-1}(-1)= -45°$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y\end{array}$
  Setze den Winkel $\alpha = -45°$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot -45°)\cdot x + \sin(2\cdot -45°)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot -45°)\cdot x - \cos(2\cdot -45°)\cdot y\end{array}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{1}{2}|3)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& -3\\y' &=& -\frac{1}{2}\end{array}$
  $\Rightarrow P'(-3|-0{,}5)$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze den Winkel $\alpha = -45°$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(-90°) & \sin(-90°) \\ \sin(-90°) & -\cos(-90°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1 \\-1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{1}{2}|3)$ in den Vektor ein.
  $\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\3\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(-3|-0{,}5)$
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4. $P(\sqrt3|1)$ , $h:y=-\sqrt3\cdot x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
  Die Steigung der Geraden ist $-\sqrt{3}$ . Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha =\tan^{-1}(-\sqrt{3})= 120°$ ist.
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot \alpha)\cdot x + \sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\y' &=& \sin (2\cdot \alpha)\cdot x - \cos(2\cdot \alpha)\cdot y\end{array}$
  Setze den Winkel $\alpha = 120°$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& \cos (2\cdot 120°)\cdot x + \sin(2\cdot 120°)\cdot y &=& (-\frac{1}{2})\cdot x + (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot y\\y' &=& \sin (2\cdot 120°)\cdot x - \cos(2\cdot 120°)\cdot y &=& (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot x - (-\frac{1}{2})\cdot y\end{array}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P(\sqrt{3}|1)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& (-\frac{1}{2}) \cdot\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 &=& -\sqrt{3}\\y' &=& (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2}\cdot 1 &=& -1\end{array}$
  $\Rightarrow P'(-\sqrt3|-1)$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\cdot \alpha) & \sin(2\cdot\alpha) \\ \sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze den Winkel $\alpha = 120°$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(240°) & \sin(240°) \\ \sin(240°) & -\cos(240°)\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A(\sqrt{3}|1)$ in den Vektor ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\1\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3} -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\sqrt{3}\\-1\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(-\sqrt3|-1)$
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3
Spiegle die Gerade $g$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Gleichung der Bildgeraden $g'$ an.
1. $g:y=-\dfrac{1}{4}x$
  $h:y=\dfrac{2}{3}x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
  Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_n (x|-\frac{1}{4}x)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_n'$ .
  $P_n'$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g'$ .
  Um den Punkt $P_n$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{2}{3})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&33{,}69° \end{array}$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  Die gespiegelten Punkte $P_n'$ haben also folgende Koordinaten:
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g'$ bestimmt werden.
  In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
  Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
  Setze nun Gleichung $(1')$ in $(2)$ ein:
  Die gespiegelte Gerade $g'$ hat demnach folgende Gleichung:
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2. $g: y= -\dfrac{2}{5}x +1$
  $h:y=\dfrac{2}{7}x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
  Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_n (x|-\frac{2}{5}x+1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_n'$ .
  $P_n'$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g'$ .
  Um den Punkt $P_n$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{2}{7})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&15{,}95° \end{array}$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  Die gespiegelten Punkte $P_n'$ haben also folgende Koordinaten:
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g'$ bestimmt werden.
  In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
  Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
  Setze nun die Gleichung $(1')$ in $(2)$ ein:
  Die gespiegelte Gerade $g'$ hat demnach folgende Gleichung:
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3. $g:y=2x+1$
  $h:y=\dfrac{1}{4}x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Gerade an einer Ursprungsgerade
  Die Gerade $g:y=2x+1$ soll an der Geraden $h:y=\dfrac{1}{4}x$ gespiegelt werden:
  Das heißt, man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_n (x|2x+1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_n'$ .
  $P_n'$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g'$ .
  Um den Punkt $P_n$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{1}{4})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&14{,}04° \end{array}$
  Somit ergibt sich folgende Gleichung:
  Die gespiegelten Punkte $P_n'$ haben also folgende Koordinaten:
  $P_n' (1{,}82x +0{,}47|-1{,}29x-0{,}88)$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g'$ bestimmt werden.
  In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
  Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
  Setze nun die Gleichung $(1')$ in $(2)$ ein:
  Die gespiegelte Gerade $g'$ hat demnach folgende Gleichung:
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Spiegele das Dreieck gegeben durch die Punkte $A(1|4)$ , $B(0|2)$ , $C(4|2)$ an der Gerade $g(x)=x$ und berechne die Koordinaten der Bildpunkte $A', B', C'$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Die Steigung der Geraden ist $1$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α=\tan^{-1}(1)=45°$ ist.

Variante 1: Berechnung in Koordinatenform:

Die Koordinaten der gespiegelten Punkte erhältst du mit:

$x'=\cos2\alpha\cdot x+\sin2\alpha\cdot y$

$y'=\sin2\alpha\cdot x-\cos2\alpha\cdot y$

Setze den Winkel nun $\alpha=45°$ ein.

$x'=\cos(2\cdot45°)\cdot x+\sin(2\cdot45°)\cdot y=0\cdot x+1\cdot y\ =\ y$

$y'=\sin(2\cdot 45°)\cdot x-\cos(2\cdot45°)\cdot y=1\cdot x-0\cdot y\ =\ x$

Setze die Koordinaten der Punkte $A$ , $B$ und $C$ jetzt in diese Formeln ein und berechne das Ergebnis:

$x'_{A}=1\cdot y_A=4$

$y'_A=1\cdot x_A=1$

$\Rightarrow A'(4|1)$

$x'_{B}=1\cdot y_B=2$

$y'_B=1\cdot x_B=0$

$\Rightarrow B'(2|0)$

$x'_{C}=1\cdot y_C=2$

$y'_C=1\cdot x_C=4$

$\Rightarrow C'(2|4)$

Variante 2: Berechnung in Matrixform:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos2\alpha & \sin2\alpha\\\sin2\alpha & -\cos2\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
	↓	Setze den WInkel $\alpha=45°$ in die Matrix ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos(2\cdot 45°) & \sin(2\cdot 45°)\\\sin(2\cdot 45°) & -\cos(2\cdot 45°)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
	↓	Berechne die Werte des Sinus und Cosinus.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setzt nun die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ ein und führe die Matrix-Vektor-Multiplikationen durch:

$\begin{pmatrix}x'_A\\y'_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'_B\\y'_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'_C\\y'_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$

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5
Der Bildpunkt $P'$ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes $P$ an einer Ursprungsgeraden $h$ .Gib die Gleichung der Spiegelachse $h$ , die Abbildungsgleichung und die Koordinaten von $Q'$ an.
1. $P(3|-4), P'(-3|4), Q(-5|1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
  Skizze:
  Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $\alpha$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P'$ ein und löst nach $\alpha$ auf.
  Hier bietet sich die Koordinatenform an:
  $x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)$
  $y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)$
  $(I):-3=3\cos(2\alpha)-4\sin(2\alpha)$
  $(II): \ \ 4=3\sin(2\alpha)+4\cos(2\alpha)$
  Löse $(I)$ nach $\cos(2\alpha)$ auf.
  $\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=-1+\frac{4}{3}\sin(2\alpha)$
  Setze $(I')$ in $(II)$ ein und löse nach $\alpha$ auf.
  $4=3\sin(2\alpha)-4+\frac{16}{3}\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow 8=\frac{25}{3}\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow \frac{24}{25}=\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow 2\alpha=73{,}74°$
  $\Leftrightarrow \alpha=36{,}87°$
  Du hast also den Winkel $\alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
  Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_h$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
  $m_h=\tan\alpha$
  $\Rightarrow m_h=tan(36{,}97°)=\frac{3}{4}$
  $\Rightarrow h:y=\frac{3}{4}x$
  Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q'$ angeben bzw. berechnen.
  Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
  $x'=x\cos(73{,}74°)+y\sin(73{,}74°)$
  $y'=x\sin(73{,}74°)-y\cos(73{,}74°)$
  $\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
  $x'=-5\cos(73{,}74°)+1\sin(73{,}74°)=-0{,}44$
  $y'=-5\sin(73{,}74°)-1\cos(73{,}74°)=-5$
  $\Rightarrow Q' (-0{,}44|-5)$
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2. $P(-5|1), P'(-1|5), Q(4|3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
  Skizze:
  Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $\alpha$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P'$ ein und löst nach $\alpha$ auf.
  Hier bietet sich die Koordinatenform an:
  $x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)$
  $y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)$
  $(I):-3=3\cos(2\alpha)-4\sin(2\alpha)$
  $(II): \ \ 4=3\sin(2\alpha)+4\cos(2\alpha)$
  Löse $(I')$ nach $\cos(2\alpha)$ auf.
  $\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=-1+\frac{4}{3}\sin(2\alpha)$
  Setze $(I')$ in $(II)$ ein und löse nach $\alpha$ auf.
  $(I')$ in $(II)$ :
  $4=3\sin(2\alpha)-4+\frac{16}{3}\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow 8=\frac{25}{3}\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow \frac{24}{25}=\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow 2\alpha=270°$
  $\Leftrightarrow \alpha=135°$
  Du hast also den Winkel $\alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
  Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_h$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
  $m_h=\tan\alpha$
  $\Rightarrow m_h=tan(135°)=-1$
  Die Spiegelachse ist also die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadraten: $\Rightarrow h:y=-x$
  Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q'$ angeben bzw. berechnen.
  Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
  $x'=x\cos(270°)+y\sin(270°)$
  $y'=x\sin(270°)-y\cos(270°)$
  $\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
  $x'=4\cos(270°)+3\sin(270°)=-3$
  $y'=4\sin(270°)-3\cos(270°)=-4$
  $\Rightarrow Q' (-3|-4)$
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3. $P(-4|0{,}6), P'(-2{,}9|2{,}5), Q(-1|-2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelachse berechnen
  Skizze:
  Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel $\alpha$ der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt $P$ und $P'$ ein und löst nach $\alpha$ auf.
  Hier bietet sich die Koordinatenform an:
  $x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)$
  $y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)$
  $(I):-2{,}9=-4\cos(2\alpha)+0{,}6\sin(2\alpha)$
  $(II): \ \ 2{,}5=-4\sin(2\alpha)-0{,}6\cos(2\alpha)$
  Löse $(I)$ nach $\cos(2\alpha)$ auf.
  $\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=0{,}725+0{,}15\sin(2\alpha)$
  Setze $(I')$ in $(II)$ ein und löse nach $\alpha$ auf.
  $(I')$ in $(II)$ :
  $2{,}5=-4\sin(2\alpha)-0{,}435-\frac{9}{100}\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow 2{,}935=-4{,}09\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow -0{,}72=\sin(2\alpha)$
  $\Leftrightarrow 2\alpha=314°$
  $\Leftrightarrow \alpha=157°$
  Du hast also den Winkel $\alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.
  Mit dieser Information kannst du auf die Steigung $m_h$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.
  $m_h=\tan\alpha$
  $\Rightarrow m_h=tan(157°)=-0{,}43$
  $\Rightarrow h:y= -0.43x$
  Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt $Q'$ angeben bzw. berechnen.
  Abbildungsgleichung in Koordinatenform:
  $x'=x\cos(314°)+y\sin(314°)$
  $y'=x\sin(314°)-y\cos(314°)$
  $\Rightarrow$ Spiegelung von $Q$
  $x'=-1\cos(314°)-2\sin(314°)=0{,}74$
  $y'=-1\sin(314°)+2\cos(314°)=2{,}09$
  $\Rightarrow Q' (0{,}74|2{,}09)$
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