Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Spiegle die Gerade $g$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Gleichung der Bildgeraden $g^{'}$ an.

$g:y=-\dfrac{1}{4}x$
$h:y=\dfrac{2}{3}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_n (x|-\frac{1}{4}x)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
$P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{2}{3})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&33{,}69° \end{array}$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{4}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}\cos 67{,}38° & \sin 67{,}38°\\\sin 67{,}38° & -\cos67{,}38°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{4}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0{,}38 & 0{,}92\\0{,}92 & -0{,}38\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{4}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0{,}38x -0{,}23x\\ 0{,}92x +0{,}095x \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0{,}15x\\ 1{,}02x\end{pmatrix} \end{array}$
Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
$\displaystyle P_n' (0.15x|1{,}02x)$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x'=& 0{,}15x & (1)\\\wedge~y'=& 1{,}02x &(2)\end{array}$
Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
$\displaystyle x=\frac{x'}{0{,}15}(1')$
Setze nun Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
$\displaystyle y'= 1{,}02 \cdot \frac{x'}{0{,}15} = 6{,}8x'$
Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
$\displaystyle g':y=6{,}8x$
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$g: y= -\dfrac{2}{5}x +1$
$h:y=\dfrac{2}{7}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_n (x|-\frac{2}{5}x+1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
$P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{2}{7})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&15{,}95° \end{array}$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{2}{5}x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}\cos 31{,}9° & \sin 31{,}9°\\\sin 31{,}9° & -\cos 31{,}9°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{2}{5}x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0{,}85 & 0{,}53\\0{,}53 & -0{,}85\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{2}{5}x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0{,}85x -0{,}21x +0{,}53\\ 0{,}53x +0{,}34x -0{,}85\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0{,}64x +0{,}53\\ 0{,}87x -0{,}85\end{pmatrix} \end{array}$
Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
$\displaystyle P_n'(0{,}64x+0{,}53|0{,}87x-0{,}85)_{ }$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x'=& 0{,}64x +0{,}53 & (1)\\\wedge~y'=& 0{,}87x -0{,}85 &(2)\end{array}$
Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
$\displaystyle x=\frac{x'-0{,}53}{0{,}64} (1')$
Setze nun die Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
$\displaystyle y'= 0{,}87 \cdot \frac{x'-0{,}53}{0{,}64} -0{,}85 = 1{,}36x'-1{,}57$
Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
$\displaystyle g':y=1{,}36x-1{,}57$
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$g : y = 2 x + 1$
$h:y=\dfrac{1}{4}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Gerade an einer Ursprungsgerade
Die Gerade $g : y = 2 x + 1$ soll an der Geraden $h:y=\dfrac{1}{4}x$ gespiegelt werden:
Das heißt, man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_{n} (x ∣ 2 x + 1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
$P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{1}{4})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&14{,}04° \end{array}$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\2x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}\cos 28{,}08° & \sin 28{,}08°\\\sin 28{,}08° & -\cos28{,}08°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\2x+1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0{,}88 & 0{,}47\\0{,}47 & -0{,}88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\2x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0{,}88x +0{,}94x+0{,}47\\ 0{,}47x -1{,}76x -0{,}88 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1{,}82x+0{,}47\\ -1{,}29x-0{,}88\end{pmatrix} \end{array}$
Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
$P_n' (1{,}82x +0{,}47|-1{,}29x-0{,}88)$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x'=& 1{,}82x+0{,}47 & (1)\\\wedge ~y'=& -1{,}29x-0{,}88 &(2)\end{array}$
Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
$\displaystyle x=\frac{x'-0{,}47}{1{,}82} (1')$
Setze nun die Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
$\displaystyle y'= -1{,}29 \cdot \frac{x'-0{,}47}{1{,}82} -0{,}88 = -0{,}71x'-0{,}55$
Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
$\displaystyle g':y=-0{,}71x-0{,}55$
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