Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Spiegle die Gerade $g$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Gleichung der Bildgeraden $g^{'}$ an.

$g : y = - \frac{1}{4} x$
$h : y = \frac{2}{3} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_{n} (x | - \frac{1}{4} x)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
$P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\begin{array}{rcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 33,69 ° \end{array}$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{4} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 67,38 ° & \sin 67,38 ° \\ \sin 67,38 ° & - \cos 67,38 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{4} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,38 & 0,92 \\ 0,92 & - 0,38 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{4} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,38 x - 0,23 x \\ 0,92 x + 0,095 x \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} 0,15 x \\ 1,02 x \end{array}) \end{array}$
Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
$P_{n}^{'} (0.15 x | 1,02 x)$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
$\begin{array}{rcll} x^{'} = & 0,15 x & (1) \\ \land y^{'} = & 1,02 x & (2) \end{array}$
Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
$x = \frac{x^{'}}{0,15} (1^{'})$
Setze nun Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
$y^{'} = 1,02 \cdot \frac{x^{'}}{0,15} = 6,8 x^{'}$
Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
$g^{'} : y = 6,8 x$
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$g : y = - \frac{2}{5} x + 1$
$h : y = \frac{2}{7} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden
Man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_{n} (x | - \frac{2}{5} x + 1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
$P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\begin{array}{rcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (\frac{2}{7}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 15,95 ° \end{array}$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{2}{5} x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 31,9 ° & \sin 31,9 ° \\ \sin 31,9 ° & - \cos 31,9 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{2}{5} x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,85 & 0,53 \\ 0,53 & - 0,85 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{2}{5} x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,85 x - 0,21 x + 0,53 \\ 0,53 x + 0,34 x - 0,85 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} 0,64 x + 0,53 \\ 0,87 x - 0,85 \end{array}) \end{array}$
Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
$P_{n}^{'} (0,64 x + 0,53 | 0,87 x - 0,85)_{}$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
$\begin{array}{rcll} x^{'} = & 0,64 x + 0,53 & (1) \\ \land y^{'} = & 0,87 x - 0,85 & (2) \end{array}$
Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
$x = \frac{x^{'} - 0,53}{0,64} (1^{'})$
Setze nun die Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
$y^{'} = 0,87 \cdot \frac{x^{'} - 0,53}{0,64} - 0,85 = 1,36 x^{'} - 1,57$
Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
$g^{'} : y = 1,36 x - 1,57$
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$g : y = 2 x + 1$
$h : y = \frac{1}{4} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Gerade an einer Ursprungsgerade
Die Gerade $g : y = 2 x + 1$ soll an der Geraden $h : y = \frac{1}{4} x$ gespiegelt werden:
Das heißt, man wählt sich einen beliebigen Punkt $P_{n} (x | 2 x + 1)$ auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
$P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .
Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\begin{array}{rcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (\frac{1}{4}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 14,04 ° \end{array}$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 28,08 ° & \sin 28,08 ° \\ \sin 28,08 ° & - \cos 28,08 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,88 & 0,47 \\ 0,47 & - 0,88 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 2 x + 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,88 x + 0,94 x + 0,47 \\ 0,47 x - 1,76 x - 0,88 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} 1,82 x + 0,47 \\ - 1,29 x - 0,88 \end{array}) \end{array}$
Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also folgende Koordinaten:
$P_{n}^{'} (1,82 x + 0,47 | - 1,29 x - 0,88)$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
$\begin{array}{rcll} x^{'} = & 1,82 x + 0,47 & (1) \\ \land y^{'} = & - 1,29 x - 0,88 & (2) \end{array}$
Dazu löst man die Gleichung (1) nach $x$ auf.
$x = \frac{x^{'} - 0,47}{1,82} (1^{'})$
Setze nun die Gleichung $(1^{'})$ in $(2)$ ein:
$y^{'} = - 1,29 \cdot \frac{x^{'} - 0,47}{1,82} - 0,88 = - 0,71 x^{'} - 0,55$
Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ hat demnach folgende Gleichung:
$g^{'} : y = - 0,71 x - 0,55$
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