Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Spiegele das Dreieck gegeben durch die Punkte $A (1 ∣ 4)$ , $B (0 ∣ 2)$ , $C (4 ∣ 2)$ an der Gerade $g (x) = x$ und berechne die Koordinaten der Bildpunkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Die Steigung der Geraden ist $1$ . Das bedeutet, dass der Winkel $α=\tan^{-1}(1)=45°$ ist.

Variante 1: Berechnung in Koordinatenform:

Die Koordinaten der gespiegelten Punkte erhältst du mit:

$x'=\cos2\alpha\cdot x+\sin2\alpha\cdot y$

$y'=\sin2\alpha\cdot x-\cos2\alpha\cdot y$

Setze den Winkel nun $\alpha=45°$ ein.

$x'=\cos(2\cdot45°)\cdot x+\sin(2\cdot45°)\cdot y=0\cdot x+1\cdot y\ =\ y$

$y'=\sin(2\cdot 45°)\cdot x-\cos(2\cdot45°)\cdot y=1\cdot x-0\cdot y\ =\ x$

Setze die Koordinaten der Punkte $A$ , $B$ und $C$ jetzt in diese Formeln ein und berechne das Ergebnis:

$x'_{A}=1\cdot y_A=4$

$y'_A=1\cdot x_A=1$

$\Rightarrow A'(4|1)$

$x'_{B}=1\cdot y_B=2$

$y'_B=1\cdot x_B=0$

$\Rightarrow B'(2|0)$

$x'_{C}=1\cdot y_C=2$

$y'_C=1\cdot x_C=4$

$\Rightarrow C'(2|4)$

Variante 2: Berechnung in Matrixform:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos2\alpha & \sin2\alpha\\\sin2\alpha & -\cos2\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
	↓	Setze den WInkel $\alpha=45°$ in die Matrix ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos(2\cdot 45°) & \sin(2\cdot 45°)\\\sin(2\cdot 45°) & -\cos(2\cdot 45°)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
	↓	Berechne die Werte des Sinus und Cosinus.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setzt nun die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ ein und führe die Matrix-Vektor-Multiplikationen durch:

$\begin{pmatrix}x'_A\\y'_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'_B\\y'_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'_C\\y'_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$

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