Die Steigung der Geraden ist $1$. Das bedeutet, dass der Winkel $\alpha ={\tan }^{-1}(1)=45°$ ist.

Variante 1: Berechnung in Koordinatenform:

Die Koordinaten der gespiegelten Punkte erhältst du mit:

$x^{\prime }=\cos 2\alpha \cdot x+\sin 2\alpha \cdot y$

$y^{\prime }=\sin 2\alpha \cdot x-\cos 2\alpha \cdot y$

Setze den Winkel nun $\alpha =45°$ ein.

$x^{\prime }=\cos (2\cdot 45°)\cdot x+\sin (2\cdot 45°)\cdot y=0\cdot x+1\cdot y=y$

$y^{\prime }=\sin (2\cdot 45°)\cdot x-\cos (2\cdot 45°)\cdot y=1\cdot x-0\cdot y=x$

Setze die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ jetzt in diese Formeln ein und berechne das Ergebnis:

$x_A^{\prime }=1\cdot y_A=4$

$y_A^{\prime }=1\cdot x_A=1$

$\Rightarrow A^{\prime }(4|1)$

$x_B^{\prime }=1\cdot y_B=2$

$y_B^{\prime }=1\cdot x_B=0$

$\Rightarrow B^{\prime }(2|0)$

$x_C^{\prime }=1\cdot y_C=2$

$y_C^{\prime }=1\cdot x_C=4$

$\Rightarrow C^{\prime }(2|4)$

Variante 2: Berechnung in Matrixform:

Setzt nun die Koordinaten der Punkte $A,B$ und $C$ ein und führe die Matrix-Vektor-Multiplikationen durch:

$\left(\begin{array}{c}{x}_A^{\prime }\\ y_A^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{x}_B^{\prime }\\ y_B^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{x}_C^{\prime }\\ y_C^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$