Aufgaben zur Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Spiegle den Punkt $P$ an der Ursprungsgeraden $h$ und gib die Koordinaten des Bildpunktes $P^{'}$ an.

Gib den Punkt $P^{'}$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(- 2 ∣ 0,5)$

$P (2 ∣ 3)$
$h:y= \frac{1}{4}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
Der Punkt $P (2 ∣ 3)$ soll an der Geraden $h:y=\frac{1}{4}x$ gespiegelt werden:
$\displaystyle P \mapsto^{h} P'$
Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\tan \alpha= m_h$
$\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)$
$\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(\frac{1}{4})$
$\Leftrightarrow \alpha =14°$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 28° & \sin 28°\\\sin 28° & -\cos28°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}88 & 0{,}47\\0{,}47 & -0{,}88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3{,}17\\ -1{,}7 \end{pmatrix}$
$\Rightarrow P'(3{,}17|-1{,}7)$
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$P (1 ∣ - 3)$
$h:y=-\frac{1}{4}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
Der Punkt $P (1 ∣ - 3)$ soll an der Geraden $h:y=-\frac{1}{4}x$ gespiegelt werden:
$\displaystyle P \mapsto^{h} P'$
Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\tan \alpha= m_h$
$\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)$
$\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(-\frac{1}{4})$
$\Leftrightarrow \alpha =166°$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 332° & \sin 332°\\\sin 332° & -\cos332°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}88 & -0{,}47\\-0{,}47 & -0{,}88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2{,}29\\ 2{,}17 \end{pmatrix}$
$\Rightarrow P'(2{,}29|2{,}17)$
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$P (- 1 ∣ - 2)$
$h:y=\frac{2}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade
Der Punkt $P (- 1 ∣ - 2)$ soll an der Geraden $h:y=\frac{2}{3}x$ gespiegelt werden:
$\displaystyle P \mapsto^{h} P'$
Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.
$\tan \alpha= m_h$
$\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)$
$\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(\frac{2}{3})$
$\Leftrightarrow \alpha =33{,}69°$
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 67{,}38° & \sin 67{,}38°\\\sin 67{,}38° & -\cos67{,}38°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}38 & 0{,}92\\0{,}92 & -0{,}38\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2{,}22\\ -0{,}16 \end{pmatrix}$
$\Rightarrow P'(-2{,}22|-0{,}16)$
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