Aufgaben zur Drehung - lernen mit Serlo!

Drehe die Gerade $g$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $\alpha$ .

$g:y=\frac{1}{4}x-1,\, Z(1|2)\,, \alpha=50°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
Die Gerade $g$ mit $y=\frac{1}{4} x -1$ soll mit dem Winkel $\alpha=50°$ um das Zentrum $Z (1 ∣ 2)$ gedreht werden.
Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_n(x|\frac{1}{4}x-1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50 °$ um $Z$ .
Drehung des Vektors $\overrightarrow{ZP_n}$ um den Ursprung
$\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}x-1\\ \frac{1}{4}x-1-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x-1\\ \frac{1}{4}x - 3\end{pmatrix}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OQ'}&=& \begin{pmatrix}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{pmatrix} \cdot\overrightarrow{ZP}\\\\&=& \begin{pmatrix}\cos50°\ \ -\sin 50°\\\sin 50° \ \ \ \ \ \ \cos 50°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x-1 \\ \frac{1}{4}x-3\end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix}0{,}64 \ \ \ \ 0{,}77\\-0{,}77 \ \ \ \ 0{,}64\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x-1 \\ \frac{1}{4}x - 3\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}0{,}64\cdot(x-1)+0{,}77\cdot(\frac14x-3)\\ -0{,}77\cdot(x-1)+0{,}64\cdot(\frac14x-3) \end{pmatrix}\\\\&=&\begin{pmatrix}0{,}83x-2{,}95 \\ -0{,}61x-1{,}15 \end{pmatrix}\end{array}$
Parallelverschiebung
Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix} &=& \overrightarrow{OQ'}+\overrightarrow{OZ}\\&=&\begin{pmatrix}0{,}83x-2{,}95 \\ -0{,}61x-1{,}15 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix} 0{,}83x-2{,}95 +1\\ -0{,}61x-1{,}15 +2\end{pmatrix}\end{array}$
$\Rightarrow P_n'\left(0{,}83x-1{,}95|-0{,}61x+0{,}85\right)$
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$g: y = -\frac{1}{2}x + 2$ , $Z (3 ∣ - 1)$ , $\alpha=120°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
Wähle einen allgemeinen Punkt $P_n(x|-\frac{1}{2}x +2)$ auf der Gerade $g$ .
1. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {ZP_n}$ um den Ursprung
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overset\longrightarrow{ZP_n} &=&\begin{pmatrix}x -3\\-\frac{1}{2}x+2 - (-1)\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}x-3\\-\frac{1}{2}x+3\end{pmatrix} \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} \\\\&=& \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{ZP_n}\\\\ &=& \begin{pmatrix}\cos 120° & -\sin 120°\\\sin 120° & \cos 120°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x -3\\-\frac{1}{2}x +3\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x-3\\-\frac{1}{2}x+3\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{3(1-\sqrt{3})}{2}\\\frac{(2\sqrt{3} +1)x}{4} - \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}\end{pmatrix}\end{array}$
2.Schritt: Verschiebe $\overset\longrightarrow {OQ'_{n}}$ um $\overset\longrightarrow{OZ}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} + \overset\longrightarrow{OZ} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{3(1-\sqrt{3})}{2}\\\frac{x(2\sqrt{3} +1)}{4} - \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{9-3\sqrt{3}}{2}\\\frac{x(2\sqrt{3} +1)}{4} - \frac{3\sqrt{3}+5}{2}\end{pmatrix} \end{array}$
$\Rightarrow P'\left(\left.\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{9-3\sqrt{3}}{2}\right|\frac{x(2\sqrt{3} +1)}{4} - \frac{3\sqrt{3}+5}{2}\right)$
3. Schritt: Berechnung des Trägergraphs
$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\begin{array}{rcl}x' &=& \frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{9-3\sqrt{3}}{2} && (1)\\y' &=& \frac{(2\sqrt{3} +1)}{4}x - \frac{3\sqrt{3}+5}{2} && (2)\end{array}$
Löse $(1)$ nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x &=& \frac{4}{\sqrt{3}-2}x' - \frac{12(3-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-2} && (1')\\y' &=& \frac{2\sqrt{3} +1}{4}x - \frac{3\sqrt{3}+5}{2} &&(2)\end{array}$
Setze $(1^{'})$ in $(2)$ ein.
$y' = \frac{2\sqrt3+1}{\sqrt3-2}x'+\frac{19(-\sqrt3+1)}{2(\sqrt3-2)}$
Das kannst du nun noch runden und erhähst die Geradengleichung für $g^{'}$ .
$y^{'} = 16,66 x^{'} + 25,95$
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$g:y= -3x+2, Z(-3|0{,}5), \alpha=45°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
Wähle einen allgemeinen Punkt $P_n(x|-\frac{1}{2}x +2)$ auf der Gerade $g$ .
1. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {ZP_n}$ um den Ursprung
$\overrightarrow{ZP_n} = \begin{pmatrix}x-(-3)\\-3x + 2-0{,}5\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} x+3\\-3x + 1{,}5\end{pmatrix}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OQ'}&=& \begin{pmatrix}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{pmatrix} \cdot\overrightarrow{ZP_n}\\\\&=& \begin{pmatrix}\cos45°\ \ -\sin 45°\\\sin 45° \ \ \ \ \ \ \cos 45°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x+3\\-3x + 1{,}5\end{pmatrix}\\\\&=&\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\ \ -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2} \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x+3\\-3x + 1{,}5\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x+\frac{3}{2\sqrt2}\\ \frac{-2}{\sqrt2}x+\frac{9}{2\sqrt2} \end{pmatrix}\end{array}$
2.Schritt: Verschiebe $\overset\longrightarrow {OQ'_{n}}$ um $\overset\longrightarrow{OZ}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} + \overset\longrightarrow{OZ} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x+\frac{3}{2\sqrt2}\\ \frac{-2}{\sqrt2}x+\frac{9}{2\sqrt2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\0{,}5\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\\-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\end{pmatrix}\end{array}$
$\Rightarrow P'\left(\left.\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right|-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} + \overset\longrightarrow{OZ}\\\\& =& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x+\frac{3}{2\sqrt2}\\ \frac{-2}{\sqrt2}x+\frac{9}{2\sqrt2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\0{,}5\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\\-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\end{pmatrix}\end{array}$
$\Rightarrow P'\left(\left.\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right|-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right)$
3. Schritt: Berechnung des Trägergraphs
$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\begin{array}{rcl}x' &=& \frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2} && (1)\\y' &=& -\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2} && (2)\end{array}$
Löse $(1)$ nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x &=& \frac{\sqrt2}{4}x' - \frac{3-6\sqrt{2}}{8} && (1')\\y' &=& -\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2} &&(2)\end{array}$
Setze $(1^{'})$ in $(2)$ ein.
$y'=-\frac12x'+\frac{21\sqrt2-8}{8}$
Das kannst du nun noch runden und erhälst die Geradengleichung für $g^{'}$ .
$g^{'} : y^{'} = - 0,5 x^{'} + 2,71$
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