Aufgaben zur Drehung

1
Bestimme die Abbildungsgleichung bei einer Drehung des Punktes $P$ um den Winkel $\alpha$ um den Ursprung und die Koordinaten des dadurch abgebildeten Punktes $P'$ .
1. $\alpha=30°$
  $P(1|4)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $\alpha=30°$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}$
  $y'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=30°$ ein.
  $x'=x\cdot \cos{30°}-y\cdot \sin{30°}$
  $y'=x\cdot \sin{30°}+y\cdot \cos{30°}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x'=1\cdot \cos{30°}-4\cdot \sin{30°}$
  $y'=1\cdot \sin{30°}+4\cdot \cos{30°}$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $x'=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-4\cdot \frac12=\frac{\sqrt{3}}{2}-2$
  $y'=1\cdot \frac12+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac12+2\sqrt{3}$
  $\Rightarrow P'(\frac{\sqrt3}{2}-2|\frac{1}{2}+2\sqrt3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  $\alpha=30°$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=30°$ ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{30°}& -\sin{30°}\\\sin{30°} & \cos{30°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{30°}& -\sin{30°}\\\sin{30°} & \cos{30°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12\\\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ \frac{\sqrt{3}}{2}-2\\\frac12 +2\sqrt{3}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(\frac{\sqrt3}{2}-2|\frac{1}{2}+2\sqrt3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ bestimmt.
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  Drehung
2. $\alpha=90°$
  $P(3|-2)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $\alpha=90°$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}$
  $y'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=90°$ ein.
  $x'=x\cdot \cos{90°}-y\cdot \sin{90°}$
  $y'=x\cdot \sin{90°}+y\cdot \cos{90°}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x'=3\cdot \cos{90°}-(-2)\cdot \sin{90°}$
  $y'=3\cdot \sin{90°}+(-2)\cdot \cos{90°}$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x'=3\cdot 0-(-2)\cdot 1=2$
  $y'=3\cdot 1+(-2)\cdot 0=3$
  $\Rightarrow P'(2|3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=90°$ ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90°}& -\sin{90°}\\\sin{90°} & \cos{90°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90°}& -\sin{90°}\\\sin{90°} & \cos{90°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ 0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(2|3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ bestimmt.
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  Drehung
3. $\alpha=120°$
  $P(12{,}5|-3)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}$
  $y'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=120°$ ein.
  $x'=x\cdot \cos{120°}-y\cdot \sin{120°}$
  $y'=x\cdot \sin{120°}+y\cdot \cos{120°}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x'=12{,}5\cdot \cos{120°}-(-3)\cdot \sin{120°}$
  $y'=12{,}5\cdot \sin{120°}+(-3)\cdot \cos{120°}$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x'=12{,}5\cdot(-\frac12)- (-3)\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-6{,}25+3\cdot\frac{\sqrt3}{2}$
  $y'=12{,}5\cdot \frac{\sqrt3}{2}+(-3)\cdot -(\frac12)=6{,}25 \cdot\sqrt3+1{,}5$
  $\Rightarrow P'(-6{,}25+3\frac{\sqrt{3}}{2}|6{,}25\sqrt{3}+1{,}5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $\alpha=120°$ ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{120°}& -\sin{120°}\\\sin{120°} & \cos{120°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{120°}& -\sin{120°}\\\sin{120°} & \cos{120°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12{,}5\\-3\end{pmatrix}$
  Dies kannst du ebenfalls noch vereinfachen.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ (-\frac12) & -\frac{\sqrt3}{2}\\\ \frac{\sqrt3}{2} & (-\frac12)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12{,}5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6{,}25+3\cdot\frac{\sqrt3}{2} \\6{,}25 \cdot\sqrt3+1{,}5 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'(-6{,}25+3\frac{\sqrt3}{2}|6{,}25\sqrt3+1{,}5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P'$ bestimmt.
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  Drehung
2
Berechne den Winkel $\alpha$ , um welchen der Punkt $P$ zum Punkt $P'$ gedreht wurde.
1. $P(5|0)$ , $P'\left(\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\left| \frac{5}{2}\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha \cdot x&-&\sin\alpha\cdot y\\y'&=&\sin\alpha \cdot x&+&\cos\alpha\cdot y\end{array}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \cdot 5&-&\sin\alpha\cdot 0\\\frac52&=&\sin\alpha \cdot 5&+&\cos\alpha\cdot 0\end{array}$
  Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \\\frac12&=&\sin\alpha \\\Rightarrow \alpha &=&30°\end{array}$
  2. Variante: Matrixform
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt3}{2}\\\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot \cos\alpha\\5\cdot \sin\alpha\end{pmatrix}$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{5\sqrt3}{2}&=5\cdot \cos\alpha\\\frac52&=5\cdot \sin\alpha\end{array}$
  Löse die Gleichungen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac{\sqrt3}{2}&=&\cos\alpha\\\frac12&=&\sin\alpha\\\Rightarrow\alpha&=&30°\end{array}$
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2. $P(3|-3)$ , $P'\left(\left.\frac32\cdot \left(1+\sqrt 3\right)\right|\frac32\cdot\left(-1+\sqrt3\right)\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \cos\alpha\cdot x &-& \sin\alpha\cdot y\\y'&=& \sin\alpha\cdot x &+& \cos\alpha\cdot y\end{array}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$
  Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\end{array}$
  Verwende das Addionsverfahren.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=& \cos\alpha+\sin\alpha+\sin\alpha-\cos\alpha\\\frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=&2\cdot \sin\alpha\\\sqrt3&=&2\cdot \sin\alpha\\\frac{\sqrt3}{2}&=& \sin\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$
  Vereinfache die Gleichung.
  2. Variante: Matrixform
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P'$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cdot 3&-\sin\alpha\cdot (-3)\\\sin\alpha\cdot 3&\cos\alpha\cdot (-3)\end{pmatrix}\cdot$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\\frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3)\end{array}$
  Löse die Gleichungen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\\frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\\\Rightarrow \alpha&=&60°\end{array}$
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3
Die Gerade $g$ wird durch Drehung um den Ursprung mit dem Winkelmaß $\alpha$ auf die Gerade $g'$ abgebildet. Berechne die Geradengleichung von $g'$ .
1. $g:y=2x+4$ mit $\alpha = 50°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Skizze:
  Die Gerade $g$ mit $y= 2x +4$ soll mit dem Winkel $\alpha=50°$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g'$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_n(x|2x+4)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50°$ um den Ursprung:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{}\cos 50°\ \ -\sin 50°\\\sin 50° \ \ \ \ \ \ \cos 50°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ 2x+4\end{array}\right)=$
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{}0{,}6\ \ -0{,}8\\0{,}8 \ \ \ \ \ \ 0{,}6\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ 2x+4\end{array}\right)=$
  $\begin{pmatrix}0{,}6x-0{,}8(2x+4)\\0{,}8x+0{,}6(2x+4)\end{pmatrix}=$
  $\begin{pmatrix}-x-3{,}2\\2x + 2{,}4\end{pmatrix}$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&= -x & -3{,}2 &(1)\\y'&= 2x & +2{,}4 &(2)\end{array}$
  $\Rightarrow P_n'(-x-3{,}2|2x+2{,}4)$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g'$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x=-x'-3{,}2$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y'= 2 \cdot (-x'-3{,}2) +2{,}4 = -2x' -6{,}4 +2{,}4= -2x' -4$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y'=-2x'-4$
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2. $g:y=x-3$ mit $\alpha=-30°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  $g:y=x-3$ , $\alpha=-30°$
  Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade.
  $P_n(x|x-3)$
  Nun spiegelst du diesen Punkt $P_n$ an der Geraden $g$ auf den Bildpunkt $P'_n$ .
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze den allgemeinen Punkt $P_n$ und den Winkel $\alpha$ in die Gleichung ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (-30°) & -\sin(-30°)\\\sin (-30°) & \cos(-30°)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}&\frac12 \\-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\x-3\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}\cdot x +\frac12\cdot (x-3)\\-\frac12\cdot x +\frac{\sqrt3}{2}\cdot (x-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\\\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P'_n\left(\left.\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\right|\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$
  $P'_n$ ist ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden.
  Bestimme nun den Trägergraph $g'$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=&\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3}{2}\\y'&=&\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3\sqrt3}{2}\end{array}$
  Löse die erste Gleichung nach $x'$ auf und setze diese in die zweite Gleichung ein.
  $x=\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}$
  $y'=\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot \left(\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}\right)-\frac32=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}$
  Die gespiegelte Gerade $g':y'=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}$
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3. $g:y=-0{,}5x-1$ mit $\alpha=120°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Die Gerade $g$ mit $y=-0{,}5 x -1$ soll mit dem Winkel $\alpha=120°$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g'$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_n(x|-0{,}5x-1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $120°$ um den Ursprung:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{}\cos 120°\ \ -\sin 120°\\\sin 120° \ \ \ \ \ \ \cos 120°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ -0{,}5x-1\end{array}\right)=$
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{}-\frac{1}{2}\ \ -\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2} \ \ \ \ -\frac{1}{2} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ -0{,}5x-1\end{array}\right)=$
  $\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt3}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=$
  $\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&= \frac{\sqrt3-2}{4}x & +\frac{\sqrt3}{2} &(1)\\y'&= \frac{\sqrt3+2}{4}x & +\frac{1}{2} &(2)\end{array}$
  $\Rightarrow P_n'(\frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}|\frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2})$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g'$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x=\frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2}$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y'= \frac{\sqrt3+2}{4} \cdot \frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2} +\frac{1}{2} = (7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y'=(7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3$
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4
Der Graph zu $f$ mit $y= 2^{x+4}-1$ definiert die Position der Punkte $D_n(x|2^{x+4}-1)$ . Diese bilden zusammen mit $A(1|1), B_n$ und $C_n$ das Quadrat $AB_nC_nD_n$ .
Links siehst du den Graphen mit den Quadraten $AB_1C_1D_1$ für den Fall $x_1=-2$ und $AB_2C_2D_2$ für den Fall $x_2=-3$ .
Zeige, dass für $B_n$ in Abhängigkeit von $D$ gilt: $B=(2^{x+4}-1|-x+2)$ .
Überprüfe anschließend ob es für $B_n$ Punkte auf der x-Achse, bzw. y-Achse gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor aufstellen
Koordinaten des Punktes $B$
$A(1|1)$
$D_n(x|2^{x+4}-1)$
Stelle den Vektor $\overrightarrow{AD}$ auf mithilfe der Regel Spitze minus Fuß.
$\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}x\\2^{x+4}-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}x-1\\ 2^{x+4}-2\end{pmatrix}$
Drehe nun den Vektor um $90°$ im Uhrzeigersinn. Das entspricht einer Drehung um $270°$ gegen den Uhrzeigersinn.
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-1\\2^{x+4}-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{x+4}-2\\-x+1 \end{pmatrix}$
Der Vektor muss nun noch um $\overrightarrow{OA}$ verschoben werden.
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2^{x+4}-2\\-x+1\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}2^{x+4}-1\\-x+2\end{pmatrix}$
Damit ergeben sich die Koordinaten: $B=(2^{x+4}-1|-x+2)$
Punkte auf der x-Achse
Um zu testen, ob es Punkte auf der x-Achse gibt musst du die y-Koordinate mit Null gleichsetzen.
$-x+2=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Daraus folgt, dass es für $x=2$ einen Punkt $B_n$ auf der x-Achse gibt.
Punkte auf der y-Achse
Für die y-Achse muss die x-Koordinate mit Null gleichgesetzt werden.
$2^{x+4}-2=0$
$2^{x+4}=2$
Dies ist nur erfüllt für $B_n$ mit $x=-3$ .
5
Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(-2|0), B(4|0)$ und $C(-1|7)$ .Die Eckpunkte $Q_n$ auf der Seite $[BC]$ des Dreiecks bilden mit dem Punkt $P$ und Punkten $R_n$ auf $g$ gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke $PQ_nR_n$ mit $\sphericalangle Q_nPR_n=90°$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung
Wir wollen also den Punkt $Q_n$ um $90°$ um den Ursprung $P$ drehen.
Das heißt, man muss zuerst die Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen, um die allgemeinen Koordinaten des Punktes $Q_n$ zu bekommen.
$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -5\\7 \end{pmatrix}$
$\Rightarrow m_{BC}=-\frac{7}{5}$
$\Rightarrow BC:y=-\frac{7}{5}x +7$
$\Rightarrow Q_n(x|-\frac{7}{5}x+7)$
Die Drehung um $90°$ wird besonders häufig gebraucht; somit verwenden wir hier direkt die folgende Matrixformel:
$\Rightarrow$ Der gedrehte Punkt $R_n$ hat also folgende Koordinaten:
Als letztes muss noch der Trägergraph $g'$ bestimmt werden: Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
Setze (1') in (2) ein:
Die Gerade $g$ hat demnach folgende Gleichung:
6
Bestimme den Punkt $P'$ , den du durch eine Drehung des Punktes $P$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $\alpha$ erhältst.
1. $P(3|4)$ , $Z(2|1)$ , $\alpha = 30°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes um ein Zentrum
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}3 - 2\\4 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
  2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 30°$ um den Ursprung.
  $\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
  Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
  $=\begin{pmatrix}\cos 30° & -\sin 30°\\\sin 30° & \cos 30°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\\frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\\frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right| \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ ist der gesuchte Punkt.
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2. $P(-3|2)$ , $Z(0|-2)$ , $\alpha = 315°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}-3 - 0\\2 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
  2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 315°$ um den Ursprung.
  $\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
  Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
  $=\begin{pmatrix}\cos 315° & -\sin 315°\\\sin 315° & \cos 315°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{7}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{7}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{7}{\sqrt{2}} - 2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \right| \frac{7}{\sqrt{2}} - 2\right)$ ist der gesuchte Punkt.
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3. $P(1|-3)$ , $Z(-1|-2)$ , $\alpha = 60°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}1 - (-1)\\-3 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
  2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 60°$ um den Ursprung.
  $\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
  Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
  $=\begin{pmatrix}\cos 60° & -\sin 60°\\\sin 60° & \cos 60°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\\\sqrt{3} - \frac{1}{2}\end{pmatrix}$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\\\sqrt{3} - \frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sqrt{3} - \frac{5}{2}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{\sqrt{3}}{2} \right| \sqrt{3} - \frac{5}{2} \right)$ ist der gesuchte Punkt.
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4. $P(2|-2)$ , $Z(2|-1)$ , $\alpha = 120°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset\longrightarrow {OQ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OQ} = \overset\longrightarrow{ZP}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset\longrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}2 - 2\\-2 - (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix} = \overset\longrightarrow{OQ}$
  2. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {OQ}$ mit Winkel $\alpha = 120°$ um den Ursprung.
  $\overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{OQ}$
  Setze den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ}$ und den Winkel $\alpha$ ein.
  $=\begin{pmatrix}\cos 120° & -\sin 120°\\\sin 120° & \cos 120°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset\longrightarrow{OQ'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset\longrightarrow{OQ'}$ um den Vektor $\overset\longrightarrow{OZ}$ .
  $\overset\longrightarrow{OP'} = \overset\longrightarrow{OQ'} + \overset\longrightarrow{OZ}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset\longrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow P' = \left(\left.\frac{\sqrt{3}}{2} +2 \right| -\frac{1}{2} \right)$ ist der gesuchte Punkt.
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7
Drehe die Gerade $g$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $\alpha$ .
1. $g:y=\frac{1}{4}x-1,\, Z(1|2)\,, \alpha=50°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
  Die Gerade $g$ mit $y=\frac{1}{4} x -1$ soll mit dem Winkel $\alpha=50°$ um das Zentrum $Z (1|2)$ gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g'$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_n(x|\frac{1}{4}x-1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50°$ um $Z$ .
  Drehung des Vektors $\overrightarrow{ZP_n}$ um den Ursprung
  $\overrightarrow{ZP} = \begin{pmatrix}x-1\\ \frac{1}{4}x-1-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x-1\\ \frac{1}{4}x - 3\end{pmatrix}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OQ'}&=& \begin{pmatrix}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{pmatrix} \cdot\overrightarrow{ZP}\\\\&=& \begin{pmatrix}\cos50°\ \ -\sin 50°\\\sin 50° \ \ \ \ \ \ \cos 50°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x-1 \\ \frac{1}{4}x-3\end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix}0{,}64 \ \ \ \ 0{,}77\\-0{,}77 \ \ \ \ 0{,}64\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x-1 \\ \frac{1}{4}x - 3\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}0{,}64\cdot(x-1)+0{,}77\cdot(\frac14x-3)\\ -0{,}77\cdot(x-1)+0{,}64\cdot(\frac14x-3) \end{pmatrix}\\\\&=&\begin{pmatrix}0{,}83x-2{,}95 \\ -0{,}61x-1{,}15 \end{pmatrix}\end{array}$
  Parallelverschiebung
  Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix} &=& \overrightarrow{OQ'}+\overrightarrow{OZ}\\&=&\begin{pmatrix}0{,}83x-2{,}95 \\ -0{,}61x-1{,}15 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix} 0{,}83x-2{,}95 +1\\ -0{,}61x-1{,}15 +2\end{pmatrix}\end{array}$
  $\Rightarrow P_n'\left(0{,}83x-1{,}95|-0{,}61x+0{,}85\right)$
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2. $g: y = -\frac{1}{2}x + 2$ , $Z(3|-1)$ , $\alpha=120°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
  Wähle einen allgemeinen Punkt $P_n(x|-\frac{1}{2}x +2)$ auf der Gerade $g$ .
  1. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {ZP_n}$ um den Ursprung
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overset\longrightarrow{ZP_n} &=&\begin{pmatrix}x -3\\-\frac{1}{2}x+2 - (-1)\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}x-3\\-\frac{1}{2}x+3\end{pmatrix} \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} \\\\&=& \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot\overset\longrightarrow{ZP_n}\\\\ &=& \begin{pmatrix}\cos 120° & -\sin 120°\\\sin 120° & \cos 120°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x -3\\-\frac{1}{2}x +3\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x-3\\-\frac{1}{2}x+3\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{3(1-\sqrt{3})}{2}\\\frac{(2\sqrt{3} +1)x}{4} - \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}\end{pmatrix}\end{array}$
  2.Schritt: Verschiebe $\overset\longrightarrow {OQ'_{n}}$ um $\overset\longrightarrow{OZ}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} + \overset\longrightarrow{OZ} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{3(1-\sqrt{3})}{2}\\\frac{x(2\sqrt{3} +1)}{4} - \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{9-3\sqrt{3}}{2}\\\frac{x(2\sqrt{3} +1)}{4} - \frac{3\sqrt{3}+5}{2}\end{pmatrix} \end{array}$
  $\Rightarrow P'\left(\left.\frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{9-3\sqrt{3}}{2}\right|\frac{x(2\sqrt{3} +1)}{4} - \frac{3\sqrt{3}+5}{2}\right)$
  3. Schritt: Berechnung des Trägergraphs
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\begin{array}{rcl}x' &=& \frac{(\sqrt{3}-2)x}{4} + \frac{9-3\sqrt{3}}{2} && (1)\\y' &=& \frac{(2\sqrt{3} +1)}{4}x - \frac{3\sqrt{3}+5}{2} && (2)\end{array}$
  Löse $(1)$ nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x &=& \frac{4}{\sqrt{3}-2}x' - \frac{12(3-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-2} && (1')\\y' &=& \frac{2\sqrt{3} +1}{4}x - \frac{3\sqrt{3}+5}{2} &&(2)\end{array}$
  Setze $(1')$ in $(2)$ ein.
  $y' = \frac{2\sqrt3+1}{\sqrt3-2}x'+\frac{19(-\sqrt3+1)}{2(\sqrt3-2)}$
  Das kannst du nun noch runden und erhähst die Geradengleichung für $g'$ .
  $y'=16{,}66x'+25{,}95$
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3. $g:y= -3x+2, Z(-3|0{,}5), \alpha=45°$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
  Wähle einen allgemeinen Punkt $P_n(x|-\frac{1}{2}x +2)$ auf der Gerade $g$ .
  1. Schritt: Drehe $\overset\longrightarrow {ZP_n}$ um den Ursprung
  $\overrightarrow{ZP_n} = \begin{pmatrix}x-(-3)\\-3x + 2-0{,}5\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} x+3\\-3x + 1{,}5\end{pmatrix}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OQ'}&=& \begin{pmatrix}\cos\alpha\ \ -\sin \alpha\\\sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha\end{pmatrix} \cdot\overrightarrow{ZP_n}\\\\&=& \begin{pmatrix}\cos45°\ \ -\sin 45°\\\sin 45° \ \ \ \ \ \ \cos 45°\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x+3\\-3x + 1{,}5\end{pmatrix}\\\\&=&\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\ \ -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2} \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x+3\\-3x + 1{,}5\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x+\frac{3}{2\sqrt2}\\ \frac{-2}{\sqrt2}x+\frac{9}{2\sqrt2} \end{pmatrix}\end{array}$
  2.Schritt: Verschiebe $\overset\longrightarrow {OQ'_{n}}$ um $\overset\longrightarrow{OZ}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} + \overset\longrightarrow{OZ} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x+\frac{3}{2\sqrt2}\\ \frac{-2}{\sqrt2}x+\frac{9}{2\sqrt2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\0{,}5\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\\-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\end{pmatrix}\end{array}$
  $\Rightarrow P'\left(\left.\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right|-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right)$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=& \overset\longrightarrow{OQ'_{n}} + \overset\longrightarrow{OZ}\\\\& =& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x+\frac{3}{2\sqrt2}\\ \frac{-2}{\sqrt2}x+\frac{9}{2\sqrt2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\0{,}5\end{pmatrix} \\\\&=& \begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\\-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\end{pmatrix}\end{array}$
  $\Rightarrow P'\left(\left.\frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right|-\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2}\right)$
  3. Schritt: Berechnung des Trägergraphs
  $\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\begin{array}{rcl}x' &=& \frac{4}{\sqrt2}x + \frac{3-6\sqrt{2}}{2\sqrt2} && (1)\\y' &=& -\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2} && (2)\end{array}$
  Löse $(1)$ nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x &=& \frac{\sqrt2}{4}x' - \frac{3-6\sqrt{2}}{8} && (1')\\y' &=& -\frac{2}{\sqrt2}x + \frac{9+\sqrt{2}}{2\sqrt2} &&(2)\end{array}$
  Setze $(1')$ in $(2)$ ein.
  $y'=-\frac12x'+\frac{21\sqrt2-8}{8}$
  Das kannst du nun noch runden und erhälst die Geradengleichung für $g'$ .
  $g': y'=-0{,}5x'+2{,}71$
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