Aufgaben zur Drehung

1
Bestimme die Abbildungsgleichung bei einer Drehung des Punktes $P$ um den Winkel $α$ um den Ursprung und die Koordinaten des dadurch abgebildeten Punktes $P^{'}$ .
1. $α = 30 °$
  $P (1 | 4)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $α = 30 °$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x^{'} = x \cdot \cos α - y \cdot \sin α$
  $y^{'} = x \cdot \sin α + y \cdot \cos α$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 30 °$ ein.
  $x^{'} = x \cdot \cos 30 ° - y \cdot \sin 30 °$
  $y^{'} = x \cdot \sin 30 ° + y \cdot \cos 30 °$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x^{'} = 1 \cdot \cos 30 ° - 4 \cdot \sin 30 °$
  $y^{'} = 1 \cdot \sin 30 ° + 4 \cdot \cos 30 °$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $x^{'} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2$
  $y^{'} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3}$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 | \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3})$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  $α = 30 °$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 30 °$ ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array})$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \\ \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 | \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3})$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
2. $α = 90 °$
  $P (3 | - 2)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  $α = 90 °$
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x^{'} = x \cdot \cos α - y \cdot \sin α$
  $y^{'} = x \cdot \sin α + y \cdot \cos α$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 90 °$ ein.
  $x^{'} = x \cdot \cos 90 ° - y \cdot \sin 90 °$
  $y^{'} = x \cdot \sin 90 ° + y \cdot \cos 90 °$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x^{'} = 3 \cdot \cos 90 ° - (- 2) \cdot \sin 90 °$
  $y^{'} = 3 \cdot \sin 90 ° + (- 2) \cdot \cos 90 °$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x^{'} = 3 \cdot 0 - (- 2) \cdot 1 = 2$
  $y^{'} = 3 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 = 3$
  $\Rightarrow P^{'} (2 | 3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 90 °$ ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 90 ° & - \sin 90 ° \\ \sin 90 ° & \cos 90 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 90 ° & - \sin 90 ° \\ \sin 90 ° & \cos 90 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$
  Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (2 | 3)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
3. $α = 120 °$
  $P (12,5 | - 3)$
  
  Lösungsweg 1: Koordinatenform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:
  $x^{'} = x \cdot \cos α - y \cdot \sin α$
  $y^{'} = x \cdot \sin α + y \cdot \cos α$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 120 °$ ein.
  $x^{'} = x \cdot \cos 120 ° - y \cdot \sin 120 °$
  $y^{'} = x \cdot \sin 120 ° + y \cdot \cos 120 °$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $x^{'} = 12,5 \cdot \cos 120 ° - (- 3) \cdot \sin 120 °$
  $y^{'} = 12,5 \cdot \sin 120 ° + (- 3) \cdot \cos 120 °$
  Dies kannst du noch vereinfachen.
  $x^{'} = 12,5 \cdot (- \frac{1}{2}) - (- 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = - 6,25 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
  $y^{'} = 12,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (- 3) \cdot - (\frac{1}{2}) = 6,25 \cdot \sqrt{3} + 1,5$
  $\Rightarrow P^{'} (- 6,25 + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} | 6,25 \sqrt{3} + 1,5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
  Lösungsweg 2: Matrixform
  Skizze:
  Um den Punkt $P$ um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du $α = 120 °$ ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes $P$ in die Abbildungsgleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 12,5 \\ - 3 \end{array})$
  Dies kannst du ebenfalls noch vereinfachen.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} (- \frac{1}{2}) & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & (- \frac{1}{2}) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 12,5 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6,25 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 6,25 \cdot \sqrt{3} + 1,5 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} (- 6,25 + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} | 6,25 \sqrt{3} + 1,5)$
  Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes $P^{'}$ bestimmt.
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  Drehung
2
Berechne den Winkel $α$ , um welchen der Punkt $P$ zum Punkt $P^{'}$ gedreht wurde.
1. $P (5 | 0)$ , $P^{'} (\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2} | \frac{5}{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos α \cdot x & - & \sin α \cdot y \\ y^{'} & = & \sin α \cdot x & + & \cos α \cdot y \end{matrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} \frac{5 \sqrt{3}}{2} & = & \cos α \cdot 5 & - & \sin α \cdot 0 \\ \frac{5}{2} & = & \sin α \cdot 5 & + & \cos α \cdot 0 \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen nach $α$ auf.
  $\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \cos α \\ \frac{1}{2} & = & \sin α \\ \Rightarrow α & = & 30 ° \end{matrix}$
  2. Variante: Matrixform
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $(\begin{array}{c} \frac{5 \sqrt{3}}{2} \\ \frac{5}{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} \frac{5 \sqrt{3}}{2} \\ \frac{5}{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \cdot \cos α \\ 5 \cdot \sin α \end{array})$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\begin{matrix} \frac{5 \sqrt{3}}{2} & = 5 \cdot \cos α \\ \frac{5}{2} & = 5 \cdot \sin α \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen.
  $\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \cos α \\ \frac{1}{2} & = & \sin α \\ \Rightarrow α & = & 30 ° \end{matrix}$
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2. $P (3 | - 3)$ , $P^{'} (\frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) | \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}))$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes
  1. Variante: Koordinatenform
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \cos α \cdot x & - & \sin α \cdot y \\ y^{'} & = & \sin α \cdot x & + & \cos α \cdot y \end{matrix}$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α \cdot 3 & - & \sin α \cdot (- 3) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α \cdot 3 & + & \cos α \cdot (- 3) \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen nach $α$ auf.
  $\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α & + & \sin α \\ \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α & - & \cos α \end{matrix}$
  Verwende das Addionsverfahren.
  $\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \cos α + \sin α + \sin α - \cos α \\ \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) + \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & 2 \cdot \sin α \\ \sqrt{3} & = & 2 \cdot \sin α \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \sin α \\ \Rightarrow α & = & 60 ° \end{matrix}$
  Vereinfache die Gleichung.
  2. Variante: Matrixform
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{'}$ in das Gleichungssystem ein.
  $(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α \cdot 3 & - \sin α \cdot (- 3) \\ \sin α \cdot 3 & \cos α \cdot (- 3) \end{array}) \cdot$
  Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.
  $\begin{matrix} \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α \cdot 3 & - & \sin α \cdot (- 3) \\ \frac{3}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α \cdot 3 & + & \cos α \cdot (- 3) \end{matrix}$
  Löse die Gleichungen.
  $\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) & = & \cos α & + & \sin α \\ \frac{1}{2} \cdot (- 1 + \sqrt{3}) & = & \sin α & - & \cos α \\ \Rightarrow α & = & 60 ° \end{matrix}$
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3
Die Gerade $g$ wird durch Drehung um den Ursprung mit dem Winkelmaß $α$ auf die Gerade $g^{'}$ abgebildet. Berechne die Geradengleichung von $g^{'}$ .
1. $g : y = 2 x + 4$ mit $α = 50 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Skizze:
  Die Gerade $g$ mit $y = 2 x + 4$ soll mit dem Winkel $α = 50 °$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | 2 x + 4)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50 °$ um den Ursprung:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{matrix} \cos 50 ° - \sin 50 ° \\ \sin 50 ° \cos 50 ° \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ 2 x + 4 \end{matrix}) =$
  $(\begin{matrix} 0,6 - 0,8 \\ 0,8 0,6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ 2 x + 4 \end{matrix}) =$
  $(\begin{array}{c} 0,6 x - 0,8 (2 x + 4) \\ 0,8 x + 0,6 (2 x + 4) \end{array}) =$
  $(\begin{array}{c} - x - 3,2 \\ 2 x + 2,4 \end{array})$
  $\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x^{'} & = - x & - 3,2 & (1) \\ y^{'} & = 2 x & + 2,4 & (2) \end{array}$
  $\Rightarrow P_{n}^{'} (- x - 3,2 | 2 x + 2,4)$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x = - x^{'} - 3,2$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y^{'} = 2 \cdot (- x^{'} - 3,2) + 2,4 = - 2 x^{'} - 6,4 + 2,4 = - 2 x^{'} - 4$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y^{'} = - 2 x^{'} - 4$
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2. $g : y = x - 3$ mit $α = - 30 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  $g : y = x - 3$ , $α = - 30 °$
  Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade.
  $P_{n} (x | x - 3)$
  Nun spiegelst du diesen Punkt $P_{n}$ an der Geraden $g$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den allgemeinen Punkt $P_{n}$ und den Winkel $α$ in die Gleichung ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (- 30 °) & - \sin (- 30 °) \\ \sin (- 30 °) & \cos (- 30 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ x - 3 \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ x - 3 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot (x - 3) \\ - \frac{1}{2} \cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (x - 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3}{2} \\ \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P_{n}^{'} (\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3}{2} | \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$
  $P_{n}^{'}$ ist ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden.
  Bestimme nun den Trägergraph $g^{'}$ .
  $\begin{matrix} x^{'} & = & \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x & - & \frac{3}{2} \\ y^{'} & = & \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot x & - & \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{matrix}$
  Löse die erste Gleichung nach $x^{'}$ auf und setze diese in die zweite Gleichung ein.
  $x = \frac{2 \cdot x^{'}}{1 + \sqrt{3}} - \frac{3}{1 + \sqrt{3}}$
  $y^{'} = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{2 \cdot x^{'}}{1 + \sqrt{3}} - \frac{3}{1 + \sqrt{3}}) - \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \cdot x^{'} - \frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}$
  Die gespiegelte Gerade $g^{'} : y^{'} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \cdot x^{'} - \frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}$
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3. $g : y = - 0,5 x - 1$ mit $α = 120 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
  Die Gerade $g$ mit $y = - 0,5 x - 1$ soll mit dem Winkel $α = 120 °$ um den Ursprung gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | - 0,5 x - 1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $120 °$ um den Ursprung:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{matrix} \cos 120 ° - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° \cos 120 ° \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ - 0,5 x - 1 \end{matrix}) =$
  $(\begin{matrix} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ - 0,5 x - 1 \end{matrix}) =$
  $(\begin{array}{c} - \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \end{array}) =$
  $(\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3} - 2}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3} + 2}{4} x + \frac{1}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x^{'} & = \frac{\sqrt{3} - 2}{4} x & + \frac{\sqrt{3}}{2} & (1) \\ y^{'} & = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} x & + \frac{1}{2} & (2) \end{array}$
  $\Rightarrow P_{n}^{'} (\frac{\sqrt{3} - 2}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{3} + 2}{4} x + \frac{1}{2})$
  Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
  Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
  $x = \frac{4 (x^{'} - \frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{3} - 2}$
  Setze (1') in (2) ein:
  $y^{'} = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} \cdot \frac{4 (x^{'} - \frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{3} - 2} + \frac{1}{2} = (7 + 4 \sqrt{3}) x^{'} - 12 - \frac{13}{2} \sqrt{3}$
  Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y^{'} = (7 + 4 \sqrt{3}) x^{'} - 12 - \frac{13}{2} \sqrt{3}$
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4
Der Graph zu $f$ mit $y = 2^{x + 4} - 1$ definiert die Position der Punkte $D_{n} (x | 2^{x + 4} - 1)$ . Diese bilden zusammen mit $A (1 | 1), B_{n}$ und $C_{n}$ das Quadrat $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Links siehst du den Graphen mit den Quadraten $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für den Fall $x_{1} = - 2$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für den Fall $x_{2} = - 3$ .
Zeige, dass für $B_{n}$ in Abhängigkeit von $D$ gilt: $B = (2^{x + 4} - 1 | - x + 2)$ .
Überprüfe anschließend ob es für $B_{n}$ Punkte auf der x-Achse, bzw. y-Achse gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor aufstellen
Koordinaten des Punktes $B$
$A (1 | 1)$
$D_{n} (x | 2^{x + 4} - 1)$
Stelle den Vektor $\vec{A D}$ auf mithilfe der Regel Spitze minus Fuß.
$\vec{A D} = (\begin{array}{c} x \\ 2^{x + 4} - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) =$ $(\begin{array}{c} x - 1 \\ 2^{x + 4} - 2 \end{array})$
Drehe nun den Vektor um $90 °$ im Uhrzeigersinn. Das entspricht einer Drehung um $270 °$ gegen den Uhrzeigersinn.
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x - 1 \\ 2^{x + 4} - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2^{x + 4} - 2 \\ - x + 1 \end{array})$
Der Vektor muss nun noch um $\vec{O A}$ verschoben werden.
$\vec{O A} + \vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2^{x + 4} - 2 \\ - x + 1 \end{array}) =$ $(\begin{array}{c} 2^{x + 4} - 1 \\ - x + 2 \end{array})$
Damit ergeben sich die Koordinaten: $B = (2^{x + 4} - 1 | - x + 2)$
Punkte auf der x-Achse
Um zu testen, ob es Punkte auf der x-Achse gibt musst du die y-Koordinate mit Null gleichsetzen.
$- x + 2 = 0$
$\Leftrightarrow x = 2$
Daraus folgt, dass es für $x = 2$ einen Punkt $B_{n}$ auf der x-Achse gibt.
Punkte auf der y-Achse
Für die y-Achse muss die x-Koordinate mit Null gleichgesetzt werden.
$2^{x + 4} - 2 = 0$
$2^{x + 4} = 2$
Dies ist nur erfüllt für $B_{n}$ mit $x = - 3$ .
5
Gegeben ist das Dreieck $A B C$ mit den Eckpunkten $A (- 2 | 0), B (4 | 0)$ und $C (- 1 | 7)$ .Die Eckpunkte $Q_{n}$ auf der Seite $[B C]$ des Dreiecks bilden mit dem Punkt $P$ und Punkten $R_{n}$ auf $g$ gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke $P Q_{n} R_{n}$ mit $∢ Q_{n} P R_{n} = 90 °$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung
Wir wollen also den Punkt $Q_{n}$ um $90 °$ um den Ursprung $P$ drehen.
Das heißt, man muss zuerst die Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen, um die allgemeinen Koordinaten des Punktes $Q_{n}$ zu bekommen.
$\vec{B C} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 7 \end{array})$
$\Rightarrow m_{B C} = - \frac{7}{5}$
$\Rightarrow B C : y = - \frac{7}{5} x + 7$
$\Rightarrow Q_{n} (x | - \frac{7}{5} x + 7)$
Die Drehung um $90 °$ wird besonders häufig gebraucht; somit verwenden wir hier direkt die folgende Matrixformel:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{7}{5} x + 7 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{7}{5} x - 7 \\ x \end{array})$
$\Rightarrow$ Der gedrehte Punkt $R_{n}$ hat also folgende Koordinaten:
$R_{n} (\frac{7}{5} x - 7 | x)$
$\Rightarrow \begin{array}{rrll} x^{'} & = & \frac{7}{5} x - 7 & (1) \\ y^{'} & = & x & (2) \end{array}$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden: Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
$x = \frac{5}{7} x^{'} + 5 (1^{'})$
Setze (1') in (2) ein:
$y^{'} = \frac{5}{7} x^{'} + 5$
Die Gerade $g$ hat demnach folgende Gleichung:
$g^{'} : y^{'} = \frac{5}{7} x^{'} + 5$
6
Bestimme den Punkt $P^{'}$ , den du durch eine Drehung des Punktes $P$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $α$ erhältst.
1. $P (3 | 4)$ , $Z (2 | 1)$ , $α = 30 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung eines Punktes um ein Zentrum
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 3 - 2 \\ 4 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 30 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 30 ° & - \sin 30 ° \\ \sin 30 ° & \cos 30 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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2. $P (- 3 | 2)$ , $Z (0 | - 2)$ , $α = 315 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} - 3 - 0 \\ 2 - (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 315 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 315 ° & - \sin 315 ° \\ \sin 315 ° & \cos 315 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{7}{\sqrt{2}} - 2 \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{1}{\sqrt{2}} | \frac{7}{\sqrt{2}} - 2)$ ist der gesuchte Punkt.
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3. $P (1 | - 3)$ , $Z (- 1 | - 2)$ , $α = 60 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 1 - (- 1) \\ - 3 - (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 60 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 60 ° & - \sin 60 ° \\ \sin 60 ° & \cos 60 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{1}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} - \frac{5}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{\sqrt{3}}{2} | \sqrt{3} - \frac{5}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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4. $P (2 | - 2)$ , $Z (2 | - 1)$ , $α = 120 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um einen Punkt
  1. Schritt: Bestimme die Koordinaten des Hilfsvektors $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{Z}$
  Setze die Koordinaten des Vektors ein.
  $\overset{⟶}{Z} = (\begin{array}{c} 2 - 2 \\ - 2 - (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array}) = \overset{⟶}{O}$
  2. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{O}$ mit Winkel $α = 120 °$ um den Ursprung.
  $\overset{⟶}{O} = (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{O}$
  Setze den Vektor $\overset{⟶}{O}$ und den Winkel $α$ ein.
  $= (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array})$
  3. Schritt: Verschiebe den Vektor $\overset{⟶}{O}$ um den Vektor $\overset{⟶}{O}$ .
  $\overset{⟶}{O} = \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O}$
  Setze die Vektoren ein.
  $\Rightarrow \overset{⟶}{O} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \\ - \frac{1}{2} \end{array})$
  $\Rightarrow P^{'} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 | - \frac{1}{2})$ ist der gesuchte Punkt.
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7
Drehe die Gerade $g$ um das Zentrum $Z$ mit dem Winkel $α$ .
1. $g : y = \frac{1}{4} x - 1, Z (1 | 2), α = 50 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
  Die Gerade $g$ mit $y = \frac{1}{4} x - 1$ soll mit dem Winkel $α = 50 °$ um das Zentrum $Z (1 | 2)$ gedreht werden.
  Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
  Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | \frac{1}{4} x - 1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50 °$ um $Z$ .
  Drehung des Vektors $\vec{Z P_{n}}$ um den Ursprung
  $\vec{Z P} = (\begin{array}{c} x - 1 \\ \frac{1}{4} x - 1 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} x - 1 \\ \frac{1}{4} x - 3 \end{array})$
  $\begin{array}{rcl} \vec{O Q^{'}} & = & (\begin{array}{c} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{array}) \cdot \vec{Z P} \\ = & (\begin{array}{c} \cos 50 ° - \sin 50 ° \\ \sin 50 ° \cos 50 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x - 1 \\ \frac{1}{4} x - 3 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,64 0,77 \\ - 0,77 0,64 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x - 1 \\ \frac{1}{4} x - 3 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,64 \cdot (x - 1) + 0,77 \cdot (\frac{1}{4} x - 3) \\ - 0,77 \cdot (x - 1) + 0,64 \cdot (\frac{1}{4} x - 3) \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,83 x - 2,95 \\ - 0,61 x - 1,15 \end{array}) \end{array}$
  Parallelverschiebung
  Jetzt muss nur noch die Parallelverschiebung durchgeführt werden:
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & \vec{O Q^{'}} + \vec{O Z} \\ = & (\begin{array}{c} 0,83 x - 2,95 \\ - 0,61 x - 1,15 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,83 x - 2,95 + 1 \\ - 0,61 x - 1,15 + 2 \end{array}) \end{array}$
  $\Rightarrow P_{n}^{'} (0,83 x - 1,95 | - 0,61 x + 0,85)$
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2. $g : y = - \frac{1}{2} x + 2$ , $Z (3 | - 1)$ , $α = 120 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
  Wähle einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | - \frac{1}{2} x + 2)$ auf der Gerade $g$ .
  1. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{Z}$ um den Ursprung
  $\begin{array}{rcl} \overset{⟶}{Z} & = & (\begin{array}{c} x - 3 \\ - \frac{1}{2} x + 2 - (- 1) \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x - 3 \\ - \frac{1}{2} x + 3 \end{array}) \overset{⟶}{O} \\ = & (\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) \cdot \overset{⟶}{Z} \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 120 ° & - \sin 120 ° \\ \sin 120 ° & \cos 120 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x - 3 \\ - \frac{1}{2} x + 3 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x - 3 \\ - \frac{1}{2} x + 3 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{(\sqrt{3} - 2) x}{4} + \frac{3 (1 - \sqrt{3})}{2} \\ \frac{(2 \sqrt{3} + 1) x}{4} - \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{2} \end{array}) \end{array}$
  2.Schritt: Verschiebe $\overset{⟶}{O}$ um $\overset{⟶}{O}$
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O} \\ = & (\begin{array}{c} \frac{(\sqrt{3} - 2) x}{4} + \frac{3 (1 - \sqrt{3})}{2} \\ \frac{x (2 \sqrt{3} + 1)}{4} - \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{(\sqrt{3} - 2) x}{4} + \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2} \\ \frac{x (2 \sqrt{3} + 1)}{4} - \frac{3 \sqrt{3} + 5}{2} \end{array}) \end{array}$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{(\sqrt{3} - 2) x}{4} + \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2} | \frac{x (2 \sqrt{3} + 1)}{4} - \frac{3 \sqrt{3} + 5}{2})$
  3. Schritt: Berechnung des Trägergraphs
  $\Rightarrow \begin{array}{rcl} x^{'} & = & \frac{(\sqrt{3} - 2) x}{4} + \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2} & (1) \\ y^{'} & = & \frac{(2 \sqrt{3} + 1)}{4} x - \frac{3 \sqrt{3} + 5}{2} & (2) \end{array}$
  Löse $(1)$ nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{4}{\sqrt{3} - 2} x^{'} - \frac{12 (3 - \sqrt{3})}{\sqrt{3} - 2} & (1^{'}) \\ y^{'} & = & \frac{2 \sqrt{3} + 1}{4} x - \frac{3 \sqrt{3} + 5}{2} & (2) \end{array}$
  Setze $(1^{'})$ in $(2)$ ein.
  $y^{'} = \frac{2 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 2} x^{'} + \frac{19 (- \sqrt{3} + 1)}{2 (\sqrt{3} - 2)}$
  Das kannst du nun noch runden und erhähst die Geradengleichung für $g^{'}$ .
  $y^{'} = 16,66 x^{'} + 25,95$
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3. $g : y = - 3 x + 2, Z (- 3 | 0,5), α = 45 °$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade um einen Punkt
  Wähle einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x | - \frac{1}{2} x + 2)$ auf der Gerade $g$ .
  1. Schritt: Drehe $\overset{⟶}{Z}$ um den Ursprung
  $\vec{Z P_{n}} = (\begin{array}{c} x - (- 3) \\ - 3 x + 2 - 0,5 \end{array})$ $= (\begin{array}{c} x + 3 \\ - 3 x + 1,5 \end{array})$
  $\begin{array}{rcl} \vec{O Q^{'}} & = & (\begin{array}{c} \cos α - \sin α \\ \sin α \cos α \end{array}) \cdot \vec{Z P_{n}} \\ = & (\begin{array}{c} \cos 45 ° - \sin 45 ° \\ \sin 45 ° \cos 45 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x + 3 \\ - 3 x + 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x + 3 \\ - 3 x + 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ \frac{- 2}{\sqrt{2}} x + \frac{9}{2 \sqrt{2}} \end{array}) \end{array}$
  2.Schritt: Verschiebe $\overset{⟶}{O}$ um $\overset{⟶}{O}$
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O} \\ = & (\begin{array}{c} \frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ \frac{- 2}{\sqrt{2}} x + \frac{9}{2 \sqrt{2}} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ 0,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3 - 6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \\ - \frac{2}{\sqrt{2}} x + \frac{9 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \end{array}) \end{array}$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3 - 6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} | - \frac{2}{\sqrt{2}} x + \frac{9 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}})$
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & \overset{⟶}{O} + \overset{⟶}{O} \\ = & (\begin{array}{c} \frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ \frac{- 2}{\sqrt{2}} x + \frac{9}{2 \sqrt{2}} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ 0,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3 - 6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \\ - \frac{2}{\sqrt{2}} x + \frac{9 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \end{array}) \end{array}$
  $\Rightarrow P^{'} (\frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3 - 6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} | - \frac{2}{\sqrt{2}} x + \frac{9 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}})$
  3. Schritt: Berechnung des Trägergraphs
  $\Rightarrow \begin{array}{rcl} x^{'} & = & \frac{4}{\sqrt{2}} x + \frac{3 - 6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} & (1) \\ y^{'} & = & - \frac{2}{\sqrt{2}} x + \frac{9 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} & (2) \end{array}$
  Löse $(1)$ nach $x$ auf.
  $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\sqrt{2}}{4} x^{'} - \frac{3 - 6 \sqrt{2}}{8} & (1^{'}) \\ y^{'} & = & - \frac{2}{\sqrt{2}} x + \frac{9 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} & (2) \end{array}$
  Setze $(1^{'})$ in $(2)$ ein.
  $y^{'} = - \frac{1}{2} x^{'} + \frac{21 \sqrt{2} - 8}{8}$
  Das kannst du nun noch runden und erhälst die Geradengleichung für $g^{'}$ .
  $g^{'} : y^{'} = - 0,5 x^{'} + 2,71$
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