Aufgaben zur Konstruktion von Dreiecken

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Trage die Punkte $A (2 | - 1)$ und $B (6 | - 1)$ in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) ein.

a) Gib 3 Möglichkeiten für die Koordinaten des Punktes $C$ an, so dass das Dreieck $A B C$ einen Flächeninhalt von $4 {cm}^{2}$ hat.

b) Gib auch die Koordinaten eines Punktes $D$ an, so dass das Dreieck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck $A B C$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Teilaufgabe a)

Trage zuerst die Punkte $A (2 | - 1)$ und $B (6 | - 1)$ in Koordinatensystem ein. Verbinde die beiden Punkte, um eine Seite des Dreiecks $A B C$ einzuzeichnen.

Danach sollst du einen Punkt $C$ finden, sodass das Dreieck $A B C$ einen Flächeninhalt von $4 {cm}^{2}$ hat.

Wenn du $[A B]$ als Grundseite wählst und $h$ die Höhe des Dreiecks ist, berechnest du den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{Δ}$ über:

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot h

Berechne $h$ , indem du die Werte für $A B$ und $A_{Δ}$ einsetzt und nach $h$ auflöst:

$A_{Δ}$ soll $4 {cm}^{2}$ sein.
Die Seitenlänge $A B$ kannst du aus dem Koordinatensystem ablesen.

\Rightarrow A B = 4 cm

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot A B \cdot h$
	↓	Setze $A B = 2 cm$ und $A_{Δ} = 4 {cm}^{2}$ ein.
$4 {cm}^{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 cm \cdot h$
$4 {cm}^{2}$	$=$	$2 cm \cdot h$	$: 2 cm$
$2 cm$	$=$	$h$

Das Dreieck benötigt also eine Höhe von $2 cm$ . Zeichne 3 verschiedene Varianten eines Dreiecks mit der Höhe ein.

Teilaufgabe b)

In Teilaufgabe b) sollst du einen Punkt D angeben, sodass das Dreieck ABD einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC hat. Das Dreieck ABD soll also folgenden Flächeninhalt $A_{Δ}^{'}$ haben:

A_{Δ}^{'} = 2 \cdot A_{Δ} = 2 \cdot 4 {cm}^{2} = 8 {cm}^{2}

Nun nutzt du wieder die Flächeninhaltsformel für Dreiecke. Auch hier kannst du $A B$ als Grundseite wählen. Bestimme die Höhe $h^{'}$ so , dass das Dreieck $A B D$ einen Flächeninhalt von $8 {cm}^{2}$ hat.

$A_{Δ}^{'}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot A B \cdot h^{'}$
	↓	Setze $A B = 4 cm$ und $A_{Δ}^{'} = 8 {cm}^{2}$ ein.
$8 {cm}^{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 cm \cdot h^{'}$
$8 {cm}^{2}$	$=$	$2 cm \cdot h^{'}$	$: 2 cm$
$4 cm$	$=$	$h^{'}$

Das Dreieck $A B D$ mit der Grundseite $A B$ muss also eine Höhe $h^{'} = 4 cm$ besitzen. Zeichne einen Punkt $D$ ein, der diese Bedingung erfüllt.

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