Aufgaben zur Konstruktion von Dreiecken

Trage die Punkte $A (2 ∣ - 1)$ und $B (6 ∣ - 1)$ in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) ein.

a) Gib 3 Möglichkeiten für die Koordinaten des Punktes $C$ an, so dass das Dreieck $A B C$ einen Flächeninhalt von $4\text{cm}^2$ hat.

b) Gib auch die Koordinaten eines Punktes $D$ an, so dass das Dreieck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck $A B C$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck

Teilaufgabe a)

Trage zuerst die Punkte $A (2 ∣ - 1)$ und $B (6 ∣ - 1)$ in Koordinatensystem ein. Verbinde die beiden Punkte, um eine Seite des Dreiecks $A B C$ einzuzeichnen.

Danach sollst du einen Punkt $C$ finden, sodass das Dreieck $A B C$ einen Flächeninhalt von $4\text{cm}^2$ hat.

Wenn du $[A B]$ als Grundseite wählst und $h$ die Höhe des Dreiecks ist, berechnest du den Flächeninhalt des Dreiecks $A_\Delta$ über:

\displaystyle A_\Delta = \frac 12 \cdot\overline{AB}\cdot h

Berechne $h$ , indem du die Werte für $\overline{AB}$ und $A_\Delta$ einsetzt und nach $h$ auflöst:

$A_\Delta$ soll $4\text{cm}^2$ sein.
Die Seitenlänge $\overline{AB}$ kannst du aus dem Koordinatensystem ablesen.

\displaystyle \Rightarrow \overline{AB}=4\text{cm}

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot h$
	↓	Setze $\overline{AB}=2\text{cm}$ und $A_\Delta=4\text{cm}^2$ ein.
$\displaystyle 4\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4\text{cm}\cdot h$
$\displaystyle 4\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle 2\text{cm}\cdot h$	$\displaystyle :2\text{cm}\$
$\displaystyle 2\text{cm}\$	$=$	$\displaystyle h$

Das Dreieck benötigt also eine Höhe von $2\text{cm}$ . Zeichne 3 verschiedene Varianten eines Dreiecks mit der Höhe ein.

Teilaufgabe b)

In Teilaufgabe b) sollst du einen Punkt D angeben, sodass das Dreieck ABD einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC hat. Das Dreieck ABD soll also folgenden Flächeninhalt $A'_\Delta$ haben:

\displaystyle A'_\Delta=2\cdot A_\Delta = 2\cdot 4\text{cm}^2 = 8\text{cm}^2

Nun nutzt du wieder die Flächeninhaltsformel für Dreiecke. Auch hier kannst du $\overline{AB}$ als Grundseite wählen. Bestimme die Höhe $h^{'}$ so , dass das Dreieck $A B D$ einen Flächeninhalt von $8\text{cm}^2$ hat.

$\displaystyle A'_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot h'$
	↓	Setze $\overline{AB}=4\text{cm}$ und $A'_\Delta= 8\text{cm}^2$ ein.
$\displaystyle 8\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4\text{cm}\cdot h'$
$\displaystyle 8\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle 2\text{cm}\cdot h'$	$\displaystyle :2\text{cm}\$
$\displaystyle 4\text{cm}$	$=$	$\displaystyle h'$

Das Dreieck $A B D$ mit der Grundseite $\overline{AB}$ muss also eine Höhe $h'=4\text{cm}$ besitzen. Zeichne einen Punkt $D$ ein, der diese Bedingung erfüllt.

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