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Aufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

Übe hier mit verschiedenen Aufgaben die Flächenberechnung von Dreiecken.

  1. 1
    Bild

    Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

    1. Gegeben ist die Höhe h=5cmh=5\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=8cmg=8\,\mathrm{cm}.

      cm²
    2. Gegeben ist die Höhe h=7cmh=7\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=14cmg=14\,\mathrm{cm}.

      cm²

    3. Gegeben ist die Höhe h=6cmh=6\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=6,4cmg=6{,}4\,\mathrm{cm}.

      cm²
    4. Gegeben ist die Höhe h=4,5cmh=4{,}5\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=10cmg=10\,\mathrm{cm}.

      cm²
    5. Gegeben ist die Höhe h=7cmh=7\,\mathrm{cm} und die Grundlinie g=3,7cmg=3{,}7\,\mathrm{cm}.

      cm²
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    Berechne das Gesuchte im gegebenen Dreieck.

    1. Gegeben ist die Höhe h=5cmh=5\,\mathrm{cm} und der Flächeninhalt AΔ=25cm2A_{\Delta}=25\,\mathrm{cm}^2. Berechne die Grundseite gg.

      cm
    2. Gegeben ist die Grundlinie g=10cmg=10\,\mathrm{cm} und der Flächeninhalt AΔ=8cm2A_{\Delta}=8\,\mathrm{cm}^2. Berechne die Höhe hh.

      cm
    3. Gegeben ist der Flächeninhalt AΔ=64cm2A_{\Delta}=64\,\mathrm{cm}^2 und die Grundlinie g=8cmg=8\,\mathrm{cm}. Berechne die Höhe hh.

      cm
    4. Gegeben ist der Flächeninhalt AΔ=16cm2A_{\Delta}=16\,\mathrm{cm}^2 und die Höhe h=8cmh=8\,\mathrm{cm}. Berechne die Grundseite gg.

      cm
    5. Gegeben ist die Höhe h=5mh=5\,\mathrm m und die Grundseite g=2dmg=2\,\mathrm{dm}. Berechne den Flächeninhalt AΔA_{\Delta}.

      dm²
    6. Gegeben ist die Höhe h=45cmh=45\,\mathrm{cm} und die Grundseite g=5,25cmg=5{,}25\,\mathrm{cm}. Berechne den Flächeninhalt AΔA_{\Delta}.

      cm²
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    Bild

    Berechne den Flächeninhalt folgender Dreiecke.

    1. a=5cm,b=4cm,γ=53a= 5\,\mathrm{cm},\, b= 4\,\mathrm{cm},\,\gamma=53^\circ

      cm²
    2. a=23cm,b=12cm,γ=36a=23\,\mathrm{cm},\, b=12\,\mathrm{cm},\, \gamma=36^\circ

      cm²
    3. a=600mm,b=24cm,γ=40a=600\,\mathrm{mm},\,b=24\,\mathrm{cm},\,\gamma=40^\circ

      cm²
    4. a=15cm,b=31cm,γ=12πa\,=15\,cm\,, b=\,31\,cm,\,\gamma =\frac12\,\pi

      cm²
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    Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ΔABC\Delta ABC, wenn die Punkte AA, BB und CC folgendermaßen gegeben sind:

    1. A(01),B(51),C(44)A(0|1), B(5|1), C(4|4)

      Flächeneinheiten
    2. A(20),B(51),C(24)A(2|0), B(5|1), C(2|4)

      Flächeneinheiten
    3. A(01),B(61),C(74)A(0|1), B(6|1), C(7|4)

      cm²
    4. A(01),B(57),C(27)A(0|1), B(5|7), C(2|7)

  5. 5

    Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ΔPQR\Delta PQR, wenn die Punkte PP, QQ und RR folgendermaßen gegeben sind:

    1. P(20),Q(50),R(24)P(-2|0), Q(5|0), R(2|4)

  6. 6
    Bild

    Berechne den Flächeninhalt des grünen Achtecks ABCDEFGH.

    cm²
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    Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

    In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.

    1. Zeichne das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit A(10),B(50)A(1|0), B(5|0) und Höhe h=3  LEh = 3\;\text{LE} in ein Koordinatensystem ein.

    2. Nun sollen Dreiecke AxBxCxA_x B_x C_x aus dem Dreieck ABCABC entstehen, indem die Grundseite AB\overline{AB} von beiden Seiten um 0,2x cm0{,}2x\ cm verkürzt werden und die Höhe hh um 12x\frac{1}{2}x verlängert wird.

      Zeichne die Dreiecke AxBxCxA_x B_x C_x für x=1x = 1, x=5x = 5 und x=6x = 6 in dasselbe Koordinatensystem wie das Dreieck ABCABC ein.

    3. Für welchen Wert von xx hat das Dreieck AxBxCxA_x B_x C_x die maximale Fläche?

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    Beispiel zur Flächenberechung eines Dreiecks

    In Bild A sieht man sofort, dass der Flächeninhalt des gelben Dreiecks halb so groß ist wie der des umgebenden Rechtecks. Gilt dies auch für die Bilder B und C? Begründe deine Antwort mit Hilfe geeigneter Skizzen.

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    Trage die Punkte A(21)A(2|-1) und B(61)B(6|-1) in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) ein.

    a) Gib 3 Möglichkeiten für die Koordinaten des Punktes CC an, so dass das Dreieck ABCABC einen Flächeninhalt von 4cm24\text{cm}^2 hat.

    b) Gib auch die Koordinaten eines Punktes DD an, so dass das Dreieck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck ABCABC hat.


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