Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes $f(x)=0f(x)=0$.

Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten $x^{2}x^2$ aus.

Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich $00$ ist. Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich $00$ setzen.

$\Rightarrow x^2=0\backslash Rightarrow\; x^2\; =0$ oder $\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1}{6}x-1=0\backslash \; \backslash frac\{1\}\{6\}\; x^2-\backslash frac\{1\}\{6\}x-1=0$

• $x^2=0\Rightarrow x=0x^2=0\; \backslash Rightarrow\; x=0$. Das ergibt die Nullstelle: $x_1=0x\_1=0$

• $\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1}{6}x-1=0\Rightarrow ?\backslash frac\{1\}\{6\}\; x^2-\backslash frac\{1\}\{6\}x-1=0\; \backslash Rightarrow\; ?$ Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.

Das ist eine quadratische Gleichung, und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.

Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;

oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit $66$.

Dann fallen nämlich alle Brüche weg!

$\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1}{6}x-1=0\backslash frac\{1\}\{6\}\; x^2-\backslash frac\{1\}\{6\}x-1=0$ $\backslash hspace\{4mm\}$ |$\cdot 6\backslash cdot\; 6$

Berechne hiervon die Diskriminante.

$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25D=(-1)^2-4\backslash cdot\; 1\backslash cdot\; (-6)=\; 25$

Die Diskriminante ist größer als $00$, also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.

$x_{2\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}x\_\{2/3\}=\; \backslash dfrac\; \{-(-1)\backslash pm\; \backslash sqrt\; \{25\}\}\{2\backslash cdot\; 1\}$

Die Lösungen heißen hier $x_{2\mathrm{/}3}x\_\{2/3\}$ statt $x_{1\mathrm{/}2}x\_\{1/2\}$, da die Bezeichnung $x_{1}x\_1$ ja schon für die Nullstelle $x_1=0x\_1=0$ vergeben wurde.

$x_{2\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}x\_\{2/3\}=\; \backslash dfrac\; \{1\backslash pm\; 5\}\{2\}$

Rechne beide Werte aus.

$x_2={\displaystyle \frac{1+5}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3x\_\{2\}=\; \backslash dfrac\; \{1+5\}\{2\}=\backslash dfrac\{6\}\{2\}=3$

$x_3={\displaystyle \frac{1-5}{2}}={\displaystyle \frac{-4}{2}}=-2x\_\{3\}=\; \backslash dfrac\; \{1-5\}\{2\}=\backslash dfrac\{-4\}\{2\}=-2$

Jetzt hast du alle Nullstellen von $ff$ erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.

$x_1=0x\_1\; =\; 0$

doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2

$x_2=3x\_2\; =\; 3$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

$x_3=-2x\_3\; =\; -2$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

$f(x)=?f(x)=?$

Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du

• alle Nullstellen der Funktion, und

• deren Vielfachheiten;

• und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten $xx$-Potenz steht.