Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

1

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

$f (x) = 2 x - 8$

$g (x) = - x^{2} - 7 x - 10$

$h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei $x = - 6$ und $x = 2$ und $x = 4$ .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
$h(x)=\frac{1}{10}(x+6)(x-2)(x-4)$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $h (x) = 0$ .
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann $0$ , wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Für $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ gilt:
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ .
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$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $f (x) = 0$ .
$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$
Kürze durch 3.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{(2)^2-4\cdot 1 \cdot1}}{2 \cdot 1}$
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2 \cdot 1}=\frac{-2 \pm 0}{2}=-1$
$\Rightarrow x_1 = -1$
Die Nullstelle liegt also bei $x_{1} = - 1$ .
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2

Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.

$f (x) = 4 x + 20$

$f (x) = 14 x - 21$

$f (x) = x^{2} + 6 x - 14$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Lösung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-5x+6=0$
	↓	Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm1}{2}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Die Funktion f hat also die Nullstellen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = 2$ .

Lösung mit dem Satz von Vieta:

$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Da die Gleichung die Form $x^{2} + p x + q = 0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$\displaystyle x_1+x_2$	$=$	$\displaystyle -p\ =\ -\left(-5\right)=5$
$\displaystyle x_1\cdot x_2$	$=$	$\displaystyle q=6$

Versuche durch Raten Lösungen für $x_{1}$ und $x_{2}$ zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{1} + x_{2}$	$x_1\cdot x_2$
$1$	$6$	$1 + 6 = 7$	$1\cdot6=6$
$2$	$3$	$2 + 3 = 5$	$2\cdot3=6$

Die Lösungen sind also $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 3$ .

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

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3

Bestimme die Nullstellen:

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

$f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1$

$f(x)=(x^2-\frac32)^2$

$f(x)=\frac12x^6-2x^3-2$

4

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

$f\left(x\right)=-\frac12x^3-2x^2$

$f\left(x\right)=2x^5+64$

$f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2$

$f\left(x\right)=-\frac12x^4-\frac72x^2+6$

$f\left(x\right)=\frac12x^4-8$

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

$f(x)=\frac12x^3-\frac14x$

$f(x)=-\frac14x^3-16$

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

5

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$

$f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

$f (x) = x^{6} - x^{4}$

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term $(4x^2-\frac{1}{3}x+2)$ bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von $f$ :
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $- 4 x + 8$
Was haben die Terme $(2 x - 4)$ und $\ -4x+8$ gemeinsam?
$-4x+8 = (-2)\cdot(2x-4)$
Setze dies in die Vorschrift von $f$ ein
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $\ -2\cdot(2x-4)$
Klammere $(2 x - 4)$ aus
$f(x) = (2x-4)\cdot$ $($ schlimmer Teil $- 2)$
Setze den "schlimmen Teil" ein
$f(x) = (2x-4)\cdot (\ (4x^2-\frac{1}{3}x+2)-\ 2)$
Löse innere Klammer auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-\ 2)$
$- 2$ und $+ 2$ heben sich gegenseitig auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)$
$f$ ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze $(2 x - 4)$ gleich Null
$2 x - 4 = 0$
Bringe die $4$ auf die andere Seite
$2x-4 = 0\ \ \ \ \ |+4$
Teile durch $2$
$2x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2$
Erhalte die Nullstelle
$x_{1} = 2$
Nullstellen des rechten Faktors
Setze $\ (4x^2-\frac{1}{3}x)$ gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern. Wir haben dann: $x\cdot(4x-\frac{1}{3})$
Dort lesen wir die Nullstelle $x_{2} = 0$ ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von $(4x-\frac{1}{3})$ . Diese berechnen wir, indem wir $4x-\frac{1}{3}$ gleich null setzen und diese Gleichung nach $x$ auflösen.
$4x-\frac{1}{3} = 0$
Bringe die $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite
$4x-\frac{1}{3} = 0\ \ \ \ \ \ |+\frac{1}{3}$
Teile durch 4
$4x=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4$
Erhalte die Nullstelle
$x_3 = \frac{1}{12}$
Und die Nullstellen von $f$ lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von $f$ . Sie lauten $x_{1} = 2, x_{2} = 0$ und $x_3=\frac1{12}$ .
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Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3+2\cdot1^2-5\cdot1-6=-8$

$f(1)\neq0$

Setze als nächstes z.B. $- 1$ in $f (x)$ ein.

$f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-5\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $f (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x + 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2+x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Wende hier die Mitternachtsformel an.

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm5}{2\cdot 1}$

Du erhältst die beiden Nullstellen:

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$ und:

$x_3=\dfrac{-6}{2}=-3$

Die Funktion $f (x)$ hat also drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 3$ .

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6

Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ zum maximalen Definitionsbereich $\mathbb{D}_f$

$f:x\mapsto \left(e^x+1\right)\cdot\left(x^4-4x^2\right)$
(frei nach der Beispielabiturprüfung - Teil A 2014)

$\left(e^x+1\right)\cdot\left(x^4−4x^2\right) = 0$
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.
$\left(e^x+1\right)=0 \vee \left(x^4−4x^2\right)=0$
Da $e^{x}$ nie negativ ist, hat $\left(e^x+1\right) = 0$ keine Lösung.
$\displaystyle \left(x^4-4x^2\right)$ $=$ $\displaystyle 0$
↓
$x^{2}$ ausklammern
$\displaystyle x^2\left(x^2-4\right)$ $=$ $\displaystyle 0$
Dieses Produkt ist auch null, wenn einer der Faktoren null ist.
$x=0 \vee \left(x^2-4\right)=0$
$\displaystyle x^2-4$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + 4$
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \pm 2$
Die Nullstellen sind also bei $x = 0, x = - 2, x = 2$ .
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7

Bestimme mithilfe der Substitutionsmethode die Nullstellen von f.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Setze die Gleichung gleich $0$ .
$0 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Nun zur Substitution:
$0 = (x^{2})^{2} - 2 x^{2} - 8$
Substituiere: $z = x^{2}$ .
$0 = z^{2} - 2 z - 8$
Löse die so gewonnene Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$z_{1{,}2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$z_{1{,}2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{36}}{2}$
$z_{1}=\dfrac{2+6}{2}=4$
$z_{2}=\dfrac{2-6}{2}=-2$
Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$z=x^2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{z}$
Aus $z_{1} = 4$ folgt:
$x_{1{,}2}=\pm\sqrt{4} \Rightarrow x_1=2$ und $x_{2} = - 2$
Aus $z = - 2$ bekommt man keine Lösungen für $f (x) = 0$ , da man aus um auf $x$ zu kommen die Wurzel aus $- 2$ ziehen müsste. Aber man kann keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen!
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .
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$f(x)=\frac12 x^6 +x^3-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^6+x^3−4$
Setzte die Gleichung gleich $0$ .
$0=\dfrac12x^6+x^3−4$
Nun zur Substitution:
$0=\dfrac12(x^3)^2+x^3−4$
Substituiere: $u = x^{3}$ .
$0=\dfrac12u^2+u−4$
Wende nun die Mitternachtsformel an um die Nullstellen der substituierten Gleichung zu berechnen.
$u_{1{,}2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot(-4)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$u_{1{,}2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{1}$
$u_{1{,}2}=-1\pm\sqrt{9}$
$u_{1{,}2}=-1\pm3$
Berechne $u_{1}$ und $u_{2}$ .
$u_{1} = 2$ und $u_{2} = - 4$
Resubstitution
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$u=x^3 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{u}$
$u_1=2 \Leftrightarrow x_1=\sqrt[3]{2}\approx1{,}26$
$u_2=-4 \Leftrightarrow x_2=\sqrt[3]{-4}\approx{-1{,}59}$
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_1=\sqrt[3]{2}$ und $x_2=\sqrt[3]{-4}$ .
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8

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $f (1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x - 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 2$ .

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$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $g (x)$ ein.

$g(1)=1^3+3\cdot1^2-16\cdot1+12=0$

Die Funktion $g (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $g (1) = 0$ , wissen wir, dass $g (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $g (x) : (x - 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+3x^2-16x+12):(x-1)=x^2+4x-12\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x^2-16x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x^2-4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $g (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $g$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2+4x-12$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm8}{2}$

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$

$x_3=\dfrac{-12}{2}=-6$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $g (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 6$ .

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$h (x) = 3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4+12x^3-33x^2-90x$
	↓	$3 x$ ausklammern.
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x\cdot\left(x^3+4x^2-11x-30\right)$

$\Rightarrow x_1=0$

Die Funktion $h (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 0$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $h$ bestimmen, indem du die Klammer gleich $0$ setzt.

$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30 = 0$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ für $x$ ein.

$(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0$

Die Funktion $h (x)$ hat an der Stelle $x_{2} = - 2$ eine Nullstelle. Da $h (- 2) = 0$ , wissen wir, dass $h (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 2)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30) : (x + 2)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15 \\-\underline{(x^3+ 2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}2x^2-11x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(2x^2+4x)}\\\phantom{- (x^3+3x^2-}-15x-30\\\phantom{(x3+3x^2}-\underline{(-15x-30)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x- 12}0\end{array}$

Setze das erhaltene Polynom gleich $0$ .

$\displaystyle x^2+2x-15$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-15\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm8}{2}$

Fall 1: $+$

$x_3=\dfrac{6}{2}=3$

Fall 2: $-$

$x_4=\dfrac{-10}{2}=-5$

Die Funktion $h (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 3$ und $x_{4} = - 5$ .

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$i (x) = x^{3} - 7 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-7x-6$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i (x)$ ein.
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 1^3-7\cdot1-6$
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

$i(1)\neq0$

Setze z.B. $- 1$ in $i (x)$ ein.

$i(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $i (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $i (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $i (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $i (x) : (x + 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+0x^2-7x-6):(x+1)=x^2-x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2-7x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $i (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-x-6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm5}{2}$

$x_2=\dfrac62=3$

$x_3=\dfrac{-4}{2}=-2$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $i (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$ und $x_{3} = - 2$ .

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9

Bestimme die Nullstelle(n) der folgenden Funktion und gib die Linearfaktordarstellung von $f$ an:

\displaystyle f:x\mapsto \frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellen bestimmen und Linearfaktordarstellung angeben.

\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2

Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes $f (x) = 0$ .

\displaystyle \frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2=0

Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten $x^{2}$ aus.

\displaystyle x^2\cdot (\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1)=0

Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich $0$ ist. Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich $0$ setzen.

$\Rightarrow x^2 =0$ oder $\ \frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0$

$x^2=0 \Rightarrow x=0$ . Das ergibt die Nullstelle: $x_{1} = 0$

$\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0 \Rightarrow ?$ Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.

\displaystyle \frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0

Das ist eine quadratische Gleichung, und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.

Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;

oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit $6$ .

Dann fallen nämlich alle Brüche weg!

$\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0$ $\hspace{4mm}$ | $\cdot 6$

\displaystyle x^2-x-6=0

Berechne hiervon die Diskriminante.

$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)= 25$

Die Diskriminante ist größer als $0$ , also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.

$x_{2/3}= \dfrac {-(-1)\pm \sqrt {25}}{2\cdot 1}$

Die Lösungen heißen hier $x_{2/3}$ statt $x_{1/2}$ , da die Bezeichnung $x_{1}$ ja schon für die Nullstelle $x_{1} = 0$ vergeben wurde.

$x_{2/3}= \dfrac {1\pm 5}{2}$

Rechne beide Werte aus.

$x_{2}= \dfrac {1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3$

$x_{3}= \dfrac {1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$

Jetzt hast du alle Nullstellen von $f$ erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.

Nullstellen von $f$ :

$x_{1} = 0$

doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2

$x_{2} = 3$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

$x_{3} = - 2$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

Linearfaktordarstellung angeben

$f (x) = ?$

Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du

alle Nullstellen der Funktion, und
deren Vielfachheiten;
und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten $x$ -Potenz steht.

Als Linearfaktordarstellung von $f$ ergibt sich:

$f(x)=\dfrac{1}{6}\cdot (x-0)^2\cdot (x-3) \cdot (x-(-2))$

oder kürzer $f(x)=\dfrac{1}{6}x^2 (x-3) (x+2)$

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Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

10

Es ist Erntezeit und Nico möchte Äpfel pflücken. Da er zu klein ist, um an die Äpfel zu kommen, stellt er eine Leiter unter den Apfelbaum. Von der Leiter aus will er die Äpfel in einen Korb werfen, der auf dem Boden ein Stück von der Leiter entfernt steht.

Nico wirft aus einer Höhe von $2\ \text{m}$ . Nico kennt die Newton'schen Gesetze der Gravitation und weiß somit, dass die Flughöhe $h$ des Apfels in Abhängigkeit von der Entfernung $x$ zur Leiter beschrieben werden kann durch $h=-\frac{1}{2\ \text{m}}x^2+2$ .

Skizziere die Flugbahn des Apfels mithilfe einer Parabel in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
$h(x)=-\frac{1}{2\ \text{m}}x^2+2$
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Berechne, mit wieviel Meter Abstand zur Leiter Nico den Korb positionieren muss, damit er genau in den Korb trifft.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Wenn Nico auf der Leiter steht, wirft er aus einer Höhe von $2\ \text{m}$ . Du möchtest wissen, wie viele Meter von der Leiter entfernt der Apfel auf den Boden fällt.
Die $x-\text{Achse}%$ stellt den Boden dar. Der $y-\text{Achsenabschnitt}$ beschreibt die Höhe, aus der Nico den Apfel wirft.
Um herauszufinden, mit welchem Abstand zur Leiter der Apfel auf dem Boden landet, musst du die Nullstellen der Funktion $h=-\frac{1}{2\ \text{m}}x^2+2$ berechnen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cll}\ h&=0\\\ -\frac{1}{2}x^2+2&=0 &|-2\\\ -\frac{1}{2}x^2&=-2 &|\cdot{(-1)}\\\frac{1}{2}x^2&=2 &|\cdot{2}\\\ x^2&=4 &|\sqrt{\quad}\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{4} \\\ |x|&=2\end{array}$
Du erhältst zwei Lösungen: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
Der Apfel fällt $2\ \text{m}$ neben Nico auf den Boden. Er muss den Korb mit $2\ \text{m}$ Abstand zur Leiter positionieren, damit er genau in den Korb trifft.
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In Teilaufgabe b) erhältst du zwei Lösungen. Wieso ergibt nur eine Sinn?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
In Teilaufgabe b) erhältst du zwei Lösungen: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
In der Aufgabentellung solltest du einen Abstand berechnen. In diesem Fall macht die Lösung $x_{2} = - 2$ keinen Sinn, da es keine Abstand von $-2\ \text{m}$ gibt.
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11

Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.

$f (x) = 3 x^{4} - 9 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3} - x$

$f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

$f (x) = x^{2} - 81$

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

$f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

$f (x) = 9 x^{4} - 81 x^{2}$

12

Lies die Nullstelle der folgenden Parabeln ab und berechne mit diesen den Scheitelpunkt.

$f (x) = x^{2} - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind (0|0) und (2|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 1.
Berechne den y-Wert.
$f(1)=1^2-2\cdot1=-1$
Der Scheitelpunkt liegt bei (1|-1)
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$g (x) = x^{2} - 4 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind (0|0) und (4|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 2.
Berechne den y-Wert.
$f(2)=2^2-4\cdot2=-4$
Der Scheitelpunkt liegt bei (2|-4)
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$f (x) = - (x + 1)^{2} + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind A(-3|0) und B(1|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist, liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also -1.
Berechne den y-Wert.
$\displaystyle f(-1)=-(-1+1)^2+4=-0^2\ +4\ =4$
Der Scheitelpunkt liegt bei $(- 1 ∣ 4)$ .
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$f (x) = (2 x)^{2} - 16$

Bei dieser Aufgabe solltest du dich mit Nullstellen und dem Scheitelpunkt von Parabeln auskennen.
Nullstellen ablesen
Schaue nach an welcher Stelle der Graph die x-Achse schneidet.
Die Nullstellen sind A(-2|0) und B(2|0).
Scheitelpunkt berechnen
Da die Parabel Achsensymmetrisch ist liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den x-Werten der Nullstellen. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist also 0.
Berechne den y-Wert.
$f(0)=(2\cdot0)^2-16$
Der Scheitelpunkt liegt bei (0|-16)
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13

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen.

$f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x^2\cdot(x+1)}$

$l(x)=\sqrt[3]{2x^2-8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$l(x)=\sqrt[3]{2x^2-8}=0$
Setze den Radikanden $2 x^{2} - 8$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2x^2-8&=&0&|+8\\2x^2&=&8&|:2\\x^2&=&4&|\sqrt{}\\x_{1{,}2}&=&\pm2\end{array}$
Die Funktion $l (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
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$n(x)=\sqrt[6]{4x^3-20x^2+8x+32}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle n\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt [6]{4x^3-20x^2+8x+32}$
	↓	Setze den Radikanden $4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$ gleich Null.
$\displaystyle 4x^3-20x^2+8x+32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x^3-5x^2+2x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Finde eine Nullstelle durch Einsetzen einfacher Werte.

Finde die Nullstelle $x_{1} = - 1$ .

Führe mit dem zur Nullstelle $x_{1}$ gehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ die Polynomdivision durch.

$\hphantom{-}(x^3-5x^2+2x+8):(x+1)=x^2-6x+8$ $\underline{-(x^3+x^2)}$ $\hphantom{-(x^3}-6x^2+2x$ $\hphantom{(x^3}\underline{-(-6x^2-6x)}$ $\hphantom{-(x^3-6x^2-}\;8x+8$ $\hphantom{-(x^3-6x^2}\underline{-(8x+8)}$ $\hphantom{-(x^3-6x^2-(8x+}0$

Setze das erhaltene Polynom gleich Null.

$\displaystyle x^2-6x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Finde die beiden anderen Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot8}}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{4}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm2}{2}$

$x_2=\dfrac{6+2}{2}=\dfrac82=4$

$x_3=\dfrac{6-2}{2}=\dfrac42=2$

Die Funktion $n (x)$ hat drei Nulstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 4$ , $x_{3} = 2$ .

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$g(x)=\sin(2x+0{,}5\pi)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g(x)=\sin(2x+0{,}5\pi)=0$
Man weiß, dass $\sin(k\cdot\pi)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$ . Setze das Argument der Sinusfunktion also gleich $k\cdot\pi$ und löse nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2x+0{,}5\pi&=&k\cdot\pi&\;|-0{,}5\pi\\2x&=&k\cdot\pi-0{,}5\pi&|\cdot\frac12\\x&=&\frac12\cdot(k\cdot\pi-0{,}5\pi)&|\pi\;\text{ausklammern}\\x&=&\frac12\pi\cdot(k-0{,}5)\end{array}$
Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.
$N=\left\{\frac12\pi\cdot(k-0{,}5)\;|\;k\in \mathbb Z\right\}$
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$h(x)=\cos\left(\dfrac{x}{\pi}\right)$

$m(x)=\sqrt{\tan(x)}$

$i(x)=\ln\left(x^3+9\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$i(x)=\ln\left(x^3+9\right)=0$
Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument $x^{3} + 9$ gleich Eins und löse die Gleichung.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x^3+9&=&1&|-9\\x^3&=&-8&|\sqrt[3]{}\\x_1&=&-2\end{array}$
Die Funktion $i (x)$ hat eine Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ .
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$k(x)=\log_2\left(x^2+3x-3\right)$

14

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a} (x) = a x^{2} + 6 x - 3$ mit $a\neq0$ .

Ermittle die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit des Parameters $a$ .

Bestimme $a$ so, dass es genau eine Nullstelle gibt.

Bestimme $a$ so, dass $x = - 1$ eine Nullstelle ist.

15

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{b} (x) = x^{4} + b x^{2} + 6$ mit $b\neq0$ .

Bestimme die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von $b$ .

Bestimme $b$ so, dass $x=\sqrt2$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Aus Aufgabe $\mathrm a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1{,}2,3{,}4}=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}$ liegen.
Setze den Term gleich $\sqrt2$ und löse die Gleichung.
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}&=&\sqrt2&|()^2\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}&=&2&|\cdot2\\-b\pm\sqrt{b^2-24}&=&4&|+b\\\pm\sqrt{b^2-24}&=&b+4&|()^2\\b^2-24&=&b^2+8b+16&|-(b^2+16)\\-40&=&8b&|:8\\-5&=&b&\end{array}$
Die Funktion $f_{b} (x)$ hat für $b = - 5$ eine Nullstelle bei $x=\sqrt2$ .
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16

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k(x)=kx^2+kx-7{,}5$ mit $k\neq0$ .

Bestimme $k$ so, dass es nur eine Nullstelle gibt.

Bestimme $k$ so, dass $x = - 2,5$ eine Nullstelle ist.

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Fall: -

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle (u-\frac{3}{2})^2=(u-\frac{3}{2})(u-\frac{3}{2})$
	↓	Die Nullstellen können abgelesen werden
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Doppelte Nullstelle

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^3$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2-2u-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-2)}}{2\cdot\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{8}}{1}=2\pm\sqrt{8}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 2+\sqrt{8}\approx4{,}83$
	↓	Fall: +

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2-\sqrt{8}\approx-0{,}83$
	↓	Fall: -

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x-8$
	↓	Setze $f (x) = 0$
$\displaystyle 2x-8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-7x-10$
	↓	Setze $g (x) = 0$
$\displaystyle -x^2-7x-10$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}$
	↓	Berechne die Wurzel
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm3}{-2}$
	↓	1 Fall: $+$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	2 Fall: $-$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{7-3}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x+20$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 4x+20$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -20$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 14x-21$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 14x-21$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +21$
$\displaystyle 14x$	$=$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x-14=0$
	↓	mit der pq-Formel lösen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{p}{2}\right)\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-\left(-14\right)}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{23\ }\vee x_2=-3-\sqrt{23}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-3x^2+2$
	↓	f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$\displaystyle x^4-3x^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Wuzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{\frac{3}{2}}$
	↓	Zwei doppelte Nullstellen

$\displaystyle x_1^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{4{,}83}\approx1{,}69$

$\displaystyle x_2^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle -0{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_2$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{-0{,}83}\approx-0{,}94$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Der niedrigste Exponent ist 2, also kann $x^{2}$ ausgeklammert werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(-\frac{1}{2}x-2\right)$
	↓	Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
$\displaystyle \Rightarrow\ x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-2$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \Rightarrow\ x_3$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$	$\displaystyle -64$
$\displaystyle -64$	$=$	$\displaystyle 2x^5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -32$	$=$	$\displaystyle x^5$
	↓	Fünfte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4-7x^2+2$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle 3u^2-7u+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot3\cdot2}}{2\cdot3}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}$
	↓	Unter der Wurzel die Differenz bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{25}}{6}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm5}{6}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^4-\frac{7}{2}x^2+6$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}u^2-\frac{7}{2}u+6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{(-\frac{7}{2})^2-4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot6}}{2\cdot(-\frac{1}{2})}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+12}}{-1}$
	↓	Unter der Wurzel die Summe bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\pm\sqrt{24{,}25}}{-1}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5+\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx-8{,}424$
	↓	Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Fall: -; Resubstitution
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{1{,}424}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle x^4$
	↓	Vierte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4+10x^3+25x^2$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x^2(x^2+10x+25)$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Doppelte Nullstelle; Setze die Klammer gleich 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2+10x+25\right)$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot1\cdot25}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{0}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm0}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10}{2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Doppelte Nullstelle

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x$
	↓	x ausklammern
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\right)$
	↓	Klammer gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}$	$\displaystyle +\frac{1}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$	$\displaystyle \cdot2\ oder\ :\frac{1}{2}$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \sqrt[2]{}$
	↓	Quadratwurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1}{2}}\approx\pm0{,}71$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3-16$
	↓	Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3-16$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3$	$\displaystyle :\left(-\frac{1}{4}\right)\ oder\ \cdot\left(-4\right)$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$\displaystyle -64$	$=$	$\displaystyle x^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^5-5x^4-3x^3$
	↓	$x^{3}$ ausklammern
	$=$	$\displaystyle x^3\cdot\left(2x^2-5x-3\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
$\displaystyle \left(2x^2-5x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\ \frac{5\pm7}{4}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{5+7}{4}=3$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-5x^2+4$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-5u+4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5+3}{2}=4$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{5-3}{2}=1$
	↓	Resubstitution
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

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Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

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Graphische Veranschaulichunng

Lösung durch Berechnung:

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Graphische Veranschaulichung

Lösung durch Berechnung

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Resubstitution

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Anwenden der 1. binomischen Formel für x3,4x_{3{,}4}x3,4​

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Resubstitution

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Ersetze den "schlimmen Teil"

Nullstellen des linken Faktors

Nullstellen des rechten Faktors

Und die Nullstellen von fff lauten…

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Nun zur Substitution:

Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:

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Nun zur Substitution:

Resubstitution

Anwenden der 1. binomischen Formel für $x_{3{,}4}$

Und die Nullstellen von $f$ lauten…

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+3x-4\right)$

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm5}{2}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^3+x^2$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f (x)$ = 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-25\right)$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-5)\cdot(x+5)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle \frac12 x$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle -8$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Wende die 2. Binomische Formel an.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x-3\right)^2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-3)\cdot(x-3)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4\cdot\left(x^2-1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-1\right)$
	↓	Verwende die 3. Binomische Formel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-1)\cdot(x+1)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$

$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm4}{2}$