Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen
Hier findest du Rechen-, Sach-, und Ableseaufgaben rund um das Thema Bestimmung von Nullstellen.
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Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab
f(x)=2x−8
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.
⇒ Nullstelle bei x=4.
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
f(x) = 2x−8 ↓ Setze f(x)=0
2x−8 = 0 +8 2x = 8 :2 x = 4 Die Nullstelle der Funktion liegt bei x=4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g(x)=−x2−7x−10
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei x=−5 und x=−2
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
g(x) = −x2−7x−10 ↓ Setze g(x)=0
−x2−7x−10 = 0 ↓ Wende die Mitternachtsformel an.
x1,2 = 2(−1)−(−7)±(−7)2−4(−1)(−10) ↓ Multipliziere die Klammern aus.
x1,2 = −27±49−40 ↓ Berechne die Wurzel
x1,2 = −27±3 ↓ 1 Fall: +
x1 = −210 = −5 ↓ 2 Fall: −
x2 = −27−3 = −2 Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei x1=−5 und x2=−2.
Hast du eine Frage oder Feedback?
h(x)=101(x+6)(x−2)(x−4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei x=−6und x=2 und x=4.
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
h(x)=101(x+6)(x−2)(x−4)
Zur Berechnung der Nullstellen setze h(x)=0.
101(x+6)(x−2)(x−4)=0
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Für x=−6, x=2 und x=4 gilt:
101(x+6)(x−2)(x−4)=0
Die Nullstellen der Funktion liegen bei x=−6, x=2 und x=4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=3x2+6x+3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
f(x)=3x2+6x+3
Zur Berechnung der Nullstellen setze f(x)=0.
3x2+6x+3=0
Kürze durch 3.
x2+2x+1=0
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
x1,2=2⋅1−2±(2)2−4⋅1⋅1
x1,2=2⋅1−2±0=2−2±0=−1
⇒x1=−1
Die Nullstelle liegt also bei x1=−1.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.
f(x)=4x+20
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
f(x) = 4x+20 ↓ Setze f(x)=0
4x+20 = 0 −20 4x = −20 :4 x = −5 Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=−5.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=14x−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
f(x) = 14x−21 ↓ Setze f(x)=0
14x−21 = 0 +21 14x = 21 :14 x = 1,5 Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=1,5.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2+6x−14
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
f(x) = x2+6x−14=0 ↓ mit der pq-Formel lösen.
x1,2 = −(2p)±(2p)2−q Im obigen Fall ist p=6 und q=-14.
Einsetzen in die Formel:
x1,2 = −3±9−(−14) x1 = −3+23 ∨x2=−3−23 Die Nullstellen liegen also bei x1≈1,8 und x1≈−7,8
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2−5x+6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Lösung mit der Mitternachtsformel:
f(x) = x2−5x+6=0 ↓ Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
a = 1 b = −5 c = 6 ↓ Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
x1,2 = 2⋅1−(−5)±(−5)2−4⋅1⋅6 = 25±25−24 = 25±1 x1 = 3 x2 = 2 Die Funktion f hat also die Nullstellen x1=3 und x2=2.
Lösung mit dem Satz von Vieta:
x2−5x+6 = 0 ↓ Da die Gleichung die Form x2+px+q=0 hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
x1+x2 = −p = −(−5)=5 x1⋅x2 = q=6 Versuche durch Raten Lösungen für x1 und x2 zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.
x1
x2
x1+x2
x1⋅x2
1
6
1+6=7
1⋅6=6
2
3
2+3=5
2⋅3=6
Die Lösungen sind also x1=2 und x2=3.
Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Bestimme die Nullstellen:
f(x)=x4−3x2+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = x4−3x2+2 ↓ f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
x4−3x2+2 = 0 Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x2 f(u) = u2− 3u + 2 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden
u1,2 = 2⋅13±(−3)2−4⋅1⋅2 ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
= 23±9−8 ↓ = 23±1 u1:24=2
Fall: +
u2:22=1
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x1,22 = 2 ↓ Wurzel ziehen
x1,2 = ±2 x3,42 = 1 ↓ Wurzel ziehen
x3,4 = ±1 Die Nullstellen der Funktion lauten x1=2,x2=−2,x3=1,x4=−1
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x4−417x2+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x2 f(u) = u2−417u+1 ↓ Mitternachtsformal anwenden
u1/2 = 2417±(−417)2−4⋅1⋅1 ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren
= 2417±14,0625 ↓ Wurzel ziehen
= 2417±415 u1 = 4 ↓ Fall: +
u2 = 41 ↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x1,22 = 4 ↓ Wurzel ziehen
x1,2 = ±2 x3,42 = 41 ↓ Wurzel ziehen
x3,4 = ±21 Die Nullstellen der Funktion liegen bei x1=2,x2=−2,x3=21,x4=−21.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=(x2−23)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = (x2−23)2 Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x2 f(u) = (u−23)2=(u−23)(u−23) ↓ Die Nullstellen können abgelesen werden
u = 23 ↓ Doppelte Nullstelle
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x1,22 = 23 ↓ Wuzel ziehen
x1 = 23 x2 = −23 ↓ Zwei doppelte Nullstellen
Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei x1=23 und x2=−23.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x6−2x3−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = 21x6−2x3−2 Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x3 f(u) = 21u2−2u−2 ↓ Mitternachtsformel anwenden
u1,2 = 2⋅212±(−2)2−4⋅21⋅(−2) = 12±8=2±8 u1 = 2+8≈4,83 ↓ Fall: +
u2 = 2−8≈−0,83 ↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x13 ≈ 4,83 ↓ dritte Wurzel ziehen
x1 ≈ 34,83≈1,69 x23 ≈ −0,83 ↓ dritte Wurzel ziehen
x2 ≈ 3−0,83≈−0,94 Die Funktion hat 2 Nullstellen bei x1≈34,83≈1,69 und bei x2≈3−0,83≈−0,94.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.
f(x)=−21x3−2x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = −21x3−2x2 ↓ Setze die Funktion gleich 0.
0 = −21x3−2x2 ↓ Der niedrigste Exponent ist 2, also kann x2 ausgeklammert werden.
0 = x2⋅(−21x−2) ↓ Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
⇒ x1,2 = 0 ↓ Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
0 = −21x−2 +21x 21x = −2 ⋅2 ⇒ x3 = −4 Die Funktion f(x) hat eine doppelte Nullstelle bei x=0 und eine einfache Nullstelle bei x=−4.
Besonderheit
Eine doppelte Nullstelle bei 0.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=2x5+64
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = 2x5+64 ↓ Die Funktion gleich 0 setzen
0 = 2x5+64 −64 −64 = 2x5 :2 −32 = x5 ↓ x = −2 Die Funktion f(x) hat eine Nullstelle bei x=−2.
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=3x4−7x2+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = 3x4−7x2+2 ↓ u = x2 f(u) = 3u2−7u+2 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
u1,2 = 2⋅37±(−7)2−4⋅3⋅2 ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
= 67±49−24 ↓ = 67±25 ↓ = 67±5 Fall: +
u1=67+5=2
Fall: −
u2=67−5=31
x1,22 = 2 ↓ x1,2 = ±2 x3,42 = 31 ↓ x3,4 = ±31 Die Funktion hat 4 Nullstellen, und zwar bei x1=2,x2=−2,x3=31,x4=−31.
Besonderheit
Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−21x4−27x2+6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = −21x4−27x2+6 ↓ u = x2 f(u) = −21u2−27u+6 ↓ Mitternachtsformel anwenden
u1,2 = 2⋅(−21)27±(−27)2−4⋅(−21)⋅6 ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren
= −127±449+12 ↓ = −13,5±24,25 u1 = −13,5+24,25≈−8,424 ↓ Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
u2 = −13,5−24,25≈1,424 ↓ Fall: -; Resubstitution
x1,22 = −13,5−24,25≈1,424 ↓ x1,2 = ±1,424 Die Funktion hat die beiden Nullstellen x1=1,424 und x2=−1,424.
Besonderheit
Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x4−8
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = 21x4−8 ↓ Die Funktion gleich 0 setzen
0 = 21x4−8 +8 8 = 21x4 ⋅2 16 = x4 ↓ x1,2 = ±2 Die Funktion hat die beiden Nullstellen x1=2 und x2=−2.
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x4+10x3+25x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = x4+10x3+25x2 ↓ x2 ausklammern.
= x2(x2+10x+25) x1,2 = 0 ↓ 0 = (x2+10x+25) ↓ Mitternachtsformel anwenden
x3,4 = 2⋅1−10±102−4⋅1⋅25 = 2−10±0 = 2−10±0 x3,4 = 2−10 = −5 ↓ Die Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und zwar jeweils bei x1,2=0 und x3,4=−5.
Anwenden der 1. binomischen Formel für x3,4
Wenn du es erkennst, kannst du statt der Mitternachtsformel auch die 1. binomische Formel verwenden:
x2+10x+25=x2+2⋅5⋅x+52=(x+5)2
In dieser faktorisierten Darstellung des Terms kannst du direkt ablesen, dass bei x=−5 eine doppelte Nullstelle liegt.
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von x lässt sich ausklammern.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Zunächst kannst du den Faktor x2 ausklammern.
Danach kannst bei dieser Aufgabe die restlichen Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen oder du erkennst, dass du die 1. binomische Formel anwenden kannst und sparst dir so eine Menge Arbeit!
f(x)=21x3−41x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = 21x3−41x ↓ x ausklammern
= x⋅(21x2−41) x1 = 0 0 = (21x2−41) ↓ Klammer gleich 0 setzen
0 = 21x2−41 +41 41 = 21x2 ⋅2 oder :21 ↓ x2 = 21 2 ↓ Quadratwurzel ziehen
x1,2 = ±21≈±0,71 Die Funktion hat die beiden Nullstellen x1=21 und x2=−21.
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von x lässt sich ausklammern.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−41x3−16
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = −41x3−16 ↓ Funktion gleich 0 setzen
0 = −41x3−16 +16 16 = −41x3 :(−41) oder ⋅(−4) ↓ −64 = x3 3 ↓ Dritte Wurzel ziehen
x = −4 Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=−4.
Besonderheit
Spezialfall: Alle Zwischenglieder fehlen.
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f(x)=2x5−5x4−3x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = 2x5−5x4−3x3 ↓ x3 ausklammern
= x3⋅(2x2−5x−3) x1 = 0 ↓ Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
(2x2−5x−3) = 0 x2,3 = 2⋅25±(−5)2−4⋅2⋅(−3) ↓ Mitternachtsformel anwenden
= 45±25+24 = 45±49= 45±7 x2 = 45+7=3 x3 = 45−7=−21 Die Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei x1=0 und jeweils eine einfache Nullstelle bei x2=3 und x3=−21
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von x lässt sich ausklammern.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x4−5x2+4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = x4−5x2+4 ↓ u = x2 f(u) = u2−5u+4 ↓ Mitternachtsformel anwenden
u1,2 = 2⋅15±(−5)2−4⋅1⋅4 = 25±25−16=25±3 ↓ Wurzel ziehen
u1 = 25+3=4 u2 = 25−3=1 ↓ x1,22 = 4 ↓ x1,2 = ±2 x3,42 = 1 ↓ x3,4 = ±1 Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei x1=2,x2=−2,x3=1 und x4=−1.
Besonderheit
Spezialfall: Funktion lässt sich auf eine quadratische Funktion zurückführen.
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Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.
f(x)=x3+3x2−4x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
x1=0
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
(x2+3x−4)=0
Wende nun die Mitternachtsformel an, um das Ergebnis zu erhalten:
x2,3=2⋅1−3±32−4⋅1⋅(−4)
x2,3 = 2⋅1−3±32−4⋅1⋅(−4) ↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
= 2−3±9+16 = 2−3±25 ↓ Ziehe die Wurzel
= 2−3±5 Du erhältst also die beiden Nullstellen:
x2=2−3+5=1
und:
x3=2−3−5=−4
Die Funktion hat also insgesamt 3 Nullstellen und zwar bei x1=0,x2=1 und x3=−4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x4+2x3+x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = x4+2x3+x2 ↓ Klammere die kleinste Potenz von x aus und setze f(x) = 0
0 = x2⋅(x2+2x+1) Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
x1=0
Das ist eine doppelte Nullstelle, da x2 in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
(x2+2x+1)=0
Wenn du die 1. binomische Formel anwendest, erhältst du:
(x+1)2=0
x2=−1 ist also auch eine doppelte Nullstelle.
Die Funktion hat also 2 doppelte Nullstellen und zwar bei x1=0 und x2=−1.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=(x2−25)⋅(21x+4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x)=(x2−25)⋅(21x+4)
Setze die Funktion gleich 0:
0=(x2−25)⋅(21x+4)
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:
0 = (x2−25) ↓ Benutze die 3. Binomische Formel
0 = (x−5)⋅(x+5) ⇒x1,2=±5
Setze als nächstes die zweite Klammer 0.