Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

1

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

$f(x)= 2x-8$

$g(x)=-x^2-7x-10$

$h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei $x=−6$ und $x=2$ und $x=4$ .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
$h(x)=\frac{1}{10}(x+6)(x-2)(x-4)$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $h(x)=0$ .
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann $0$ , wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Für $x=-6$ , $x=2$ und $x=4$ gilt:
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x=-6$ , $x=2$ und $x=4$ .
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$f(x)=3x^2+6x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
$f(x)=3x^2+6x+3$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $f(x)=0$ .
$3x^2+6x+3=0$
Kürze durch 3.
$x^2+2x+1=0$
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{(2)^2-4\cdot 1 \cdot1}}{2 \cdot 1}$
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2 \cdot 1}=\frac{-2 \pm 0}{2}=-1$
$\Rightarrow x_1 = -1$
Die Nullstelle liegt also bei $x_1= -1$ .
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2

Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.

$f(x)=4x+20$

$f(x)=14x−21$

$f(x)=x^2+6x−14$

$f(x)=x^2−5x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Lösung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-5x+6=0$
	↓	Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm1}{2}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Die Funktion f hat also die Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=2$ .

Lösung mit dem Satz von Vieta:

$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Da die Gleichung die Form $x^2+px+q=0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$\displaystyle x_1+x_2$	$=$	$\displaystyle -p\ =\ -\left(-5\right)=5$
$\displaystyle x_1\cdot x_2$	$=$	$\displaystyle q=6$

Versuche durch Raten Lösungen für $x_1$ und $x_2$ zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$x_1$	$x_2$	$x_1+x_2$	$x_1\cdot x_2$
$1$	$6$	$1+6=7$	$1\cdot6=6$
$2$	$3$	$2+3=5$	$2\cdot3=6$

Die Lösungen sind also $x_1=2$ und $x_2=3$ .

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

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3

Bestimme die Nullstellen:

$f(x)=x^4-3x^2+2$

$f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1$

$f(x)=(x^2-\frac32)^2$

$f(x)=\frac12x^6-2x^3-2$

4

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

$f\left(x\right)=-\frac12x^3-2x^2$

$f\left(x\right)=2x^5+64$

$f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2$

$f\left(x\right)=-\frac12x^4-\frac72x^2+6$

$f\left(x\right)=\frac12x^4-8$

$f(x)=x^4+10x^3+25x^2$

$f(x)=\frac12x^3-\frac14x$

$f(x)=-\frac14x^3-16$

$f(x)=2x^5-5x^4-3x^3$

$f(x)=x^4-5x^2+4$

5

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

$f(x)=x^3+3x^2-4x$

$f(x)=x^4+2x^3+x^2$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.
$f(x)=\left(x^2-25\right)\cdot\left(\frac12x+4\right)$
Setze die Funktion gleich 0:
$0=\left(x^2-25\right)\cdot\left(\frac12x+4\right)$
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle \left(x^2-25\right)$
↓
Benutze die 3. Binomische Formel
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle (x-5)\cdot(x+5)$
$\Rightarrow x_{1{,}2}=\pm5$
Setze als nächstes die zweite Klammer $0$ .

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x-8$
	↓	Setze $f(x)=0$
$\displaystyle 2x-8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 14x-21$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 14x-21$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +21$
$\displaystyle 14x$	$=$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\ 3u\ +\ 2\ =\ 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}2$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm1}2$

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\frac{17}{4}u+1$
	↓	Mitternachtsformal anwenden
$\displaystyle u_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\sqrt{(-\frac{17}{4})^2-4\cdot1\cdot1}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\sqrt{14{,}0625}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\frac{15}{4}}{2}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Fall: +

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-7x-10$
	↓	Setze $g(x)=0$
$\displaystyle -x^2-7x-10$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}$
	↓	Berechne die Wurzel
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm3}{-2}$
	↓	1 Fall: $+$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	2 Fall: $-$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{7-3}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x+20$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 4x+20$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -20$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x-14=0$
	↓	mit der pq-Formel lösen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{p}{2}\right)\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-\left(-14\right)}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{23\ }\vee x_2=-3-\sqrt{23}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-3x^2+2$
	↓	f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$\displaystyle x^4-3x^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{1}{2}$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Wuzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{\frac{3}{2}}$
	↓	Zwei doppelte Nullstellen

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^3$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2-2u-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-2)}}{2\cdot\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{8}}{1}=2\pm\sqrt{8}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 2+\sqrt{8}\approx4{,}83$
	↓	Fall: +

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2-\sqrt{8}\approx-0{,}83$
	↓	Fall: -

$\displaystyle x_1^3$	$≈$	$\displaystyle 4{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{4{,}83}\approx1{,}69$

$\displaystyle x_2^3$	$≈$	$\displaystyle -0{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_2$	$≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{-0{,}83}\approx-0{,}94$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Der niedrigste Exponent ist 2, also kann $x^2$ ausgeklammert werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(-\frac{1}{2}x-2\right)$
	↓	Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
$\displaystyle \Rightarrow\ x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-2$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \Rightarrow\ x_3$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$	$\displaystyle -64$
$\displaystyle -64$	$=$	$\displaystyle 2x^5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -32$	$=$	$\displaystyle x^5$
	↓	Fünfte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4-7x^2+2$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle 3u^2-7u+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot3\cdot2}}{2\cdot3}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}$
	↓	Unter der Wurzel die Differenz bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{25}}{6}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm5}{6}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^4-\frac{7}{2}x^2+6$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}u^2-\frac{7}{2}u+6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{(-\frac{7}{2})^2-4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot6}}{2\cdot(-\frac{1}{2})}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+12}}{-1}$
	↓	Unter der Wurzel die Summe bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\pm\sqrt{24{,}25}}{-1}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5+\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx-8{,}424$
	↓	Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Fall: -; Resubstitution
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{1{,}424}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle x^4$
	↓	Vierte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4+10x^3+25x^2$
	↓	$x^2$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x^2(x^2+10x+25)$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Doppelte Nullstelle; Setze die Klammer gleich 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2+10x+25\right)$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot1\cdot25}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{0}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm0}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10}{2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Doppelte Nullstelle

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Graphische Veranschaulichung:

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Substitution

Resubstitution

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

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Nullstellenbestimmung

Anwenden der 1. binomischen Formel für x3,4x_{3{,}4}x3,4​

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Anwenden der 1. binomischen Formel für $x_{3{,}4}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x$
	↓	x ausklammern
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\right)$
	↓	Klammer gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}$	$\displaystyle +\frac{1}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$	$\displaystyle \cdot2\ oder\ :\frac{1}{2}$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \sqrt[2]{}$
	↓	Quadratwurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1}{2}}\approx\pm0{,}71$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3-16$
	↓	Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3-16$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3$	$\displaystyle :\left(-\frac{1}{4}\right)\ oder\ \cdot\left(-4\right)$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$\displaystyle -64$	$=$	$\displaystyle x^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^5-5x^4-3x^3$
	↓	$x^3$ ausklammern
	$=$	$\displaystyle x^3\cdot\left(2x^2-5x-3\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
$\displaystyle \left(2x^2-5x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\ \frac{5\pm7}{4}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{5+7}{4}=3$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-5x^2+4$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-5u+4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5+3}{2}=4$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{5-3}{2}=1$
	↓	Resubstitution
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+3x-4\right)$

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm5}{2}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^3+x^2$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f(x)$ = 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-25\right)$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-5)\cdot(x+5)$