Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) = 2 x^{5} + 64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $2 x^{5} + 64$
↓
Die Funktion gleich 0 setzen
$0$ $=$ $2 x^{5} + 64$ $- 64$
$- 64$ $=$ $2 x^{5}$ $: 2$
$- 32$ $=$ $x^{5}$
↓
Fünfte Wurzel ziehen.
$x$ $=$ $- 2$
Die Funktion $f (x)$ hat eine Nullstelle bei $x = - 2$ .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2} + 6$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{4} - 8$
↓
Die Funktion gleich 0 setzen
$0$ $=$ $\frac{1}{2} x^{4} - 8$ $+ 8$
$8$ $=$ $\frac{1}{2} x^{4}$ $\cdot 2$
$16$ $=$ $x^{4}$
↓
Vierte Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$ $=$ $\pm 2$
Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x$

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{3} - 16$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{4} x^{3} - 16$
↓
Funktion gleich 0 setzen
$0$ $=$ $- \frac{1}{4} x^{3} - 16$ $+ 16$
$16$ $=$ $- \frac{1}{4} x^{3}$ $: (- \frac{1}{4}) o d e r \cdot (- 4)$
↓
Brüche multiplizieren und dividieren
$- 64$ $=$ $x^{3}$ $\sqrt[3]{}$
↓
Dritte Wurzel ziehen
$x$ $=$ $- 4$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x = - 4$ .
Besonderheit
Spezialfall: Alle Zwischenglieder fehlen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2} + 6$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$- \frac{1}{2} u^{2} - \frac{7}{2} u + 6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{\frac{7}{2} \pm \sqrt{(- \frac{7}{2})^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot 6}}{2 \cdot (- \frac{1}{2})}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4} + 12}}{- 1}$
	↓	Unter der Wurzel die Summe bilden.
	$=$	$\frac{3,5 \pm \sqrt{24,25}}{- 1}$
$u_{1}$	$=$	$\frac{3,5 + \sqrt{24,25}}{- 1} \approx - 8,424$
	↓	Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
$u_{2}$	$=$	$\frac{3,5 - \sqrt{24,25}}{- 1} \approx 1,424$
	↓	Fall: -; Resubstitution
$x_{1,2}^{2}$	$=$	$\frac{3,5 - \sqrt{24,25}}{- 1} \approx 1,424$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{1,424}$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$
	↓	Der niedrigste Exponent ist 2, also kann $x^{2}$ ausgeklammert werden.
$0$	$=$	$x^{2} \cdot (- \frac{1}{2} x - 2)$
	↓	Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
$\Rightarrow x_{1,2}$	$=$	$0$
	↓	Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x - 2$	$+ \frac{1}{2} x$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$- 2$	$\cdot 2$
$\Rightarrow x_{3}$	$=$	$- 4$

$f (x)$	$=$	$2 x^{5} + 64$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$0$	$=$	$2 x^{5} + 64$	$- 64$
$- 64$	$=$	$2 x^{5}$	$: 2$
$- 32$	$=$	$x^{5}$
	↓	Fünfte Wurzel ziehen.
$x$	$=$	$- 2$

$f (x)$	$=$	$3 x^{4} - 7 x^{2} + 2$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$3 u^{2} - 7 u + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$
	↓	Unter der Wurzel die Differenz bilden
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{25}}{6}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{7 \pm 5}{6}$

$x_{1,2}^{2}$	$=$	$2$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{2}$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$\frac{1}{3}$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{3,4}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{4} - 8$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$0$	$=$	$\frac{1}{2} x^{4} - 8$	$+ 8$
$8$	$=$	$\frac{1}{2} x^{4}$	$\cdot 2$
$16$	$=$	$x^{4}$
	↓	Vierte Wurzel ziehen.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$

$f (x)$	$=$	$x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)$
$x_{1,2}$	$=$	$0$
	↓	Doppelte Nullstelle; Setze die Klammer gleich 0
$0$	$=$	$(x^{2} + 10 x + 25)$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$
	$=$	$\frac{- 10 \pm 0}{2}$
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 10}{2}$
	$=$	$- 5$
	↓	Doppelte Nullstelle

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x$
	↓	x ausklammern
	$=$	$x \cdot (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4})$
$x_{1}$	$=$	$0$
$0$	$=$	$(\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4})$
	↓	Klammer gleich 0 setzen
$0$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4}$	$+ \frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2}$	$\cdot 2 o d e r : \frac{1}{2}$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$x^{2}$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt[2]{}$
	↓	Quadratwurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{1}{2}} \approx \pm 0,71$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} - 16$
	↓	Funktion gleich 0 setzen
$0$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} - 16$	$+ 16$
$16$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3}$	$: (- \frac{1}{4}) o d e r \cdot (- 4)$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$- 64$	$=$	$x^{3}$	$\sqrt[3]{}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen
$x$	$=$	$- 4$

$f (x)$	$=$	$2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$
	↓	$x^{3}$ ausklammern
	$=$	$x^{3} \cdot (2 x^{2} - 5 x - 3)$
$x_{1}$	$=$	$0$
	↓	Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
$(2 x^{2} - 5 x - 3)$	$=$	$0$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{5 + 7}{4} = 3$
$x_{3}$	$=$	$\frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$

$f (x)$	$=$	$x^{4} - 5 x^{2} + 4$
	↓	Substitution
$u$	$=$	$x^{2}$
$f (u)$	$=$	$u^{2} - 5 u + 4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
$u_{1}$	$=$	$\frac{5 + 3}{2} = 4$
$u_{2}$	$=$	$\frac{5 - 3}{2} = 1$
	↓	Resubstitution
$x_{1,2}^{2}$	$=$	$4$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 2$
$x_{3,4}^{2}$	$=$	$1$
	↓	Wurzel ziehen
$x_{3,4}$	$=$	$\pm 1$

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Resubstitution

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Anwenden der 1. binomischen Formel für x3,4

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nullstellenbestimmung

Besonderheit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Anwenden der 1. binomischen Formel für $x_{3,4}$