Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

…

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

$f\left(x\right)=-\frac12x^3-2x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Der niedrigste Exponent ist 2, also kann $x^{2}$ ausgeklammert werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(-\frac{1}{2}x-2\right)$
	↓	Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
$\displaystyle \Rightarrow\ x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-2$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \Rightarrow\ x_3$	$=$	$\displaystyle -4$

Die Funktion $f (x)$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x = 0$ und eine einfache Nullstelle bei $x = - 4$ .

Besonderheit

Eine doppelte Nullstelle bei 0.

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$f\left(x\right)=2x^5+64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$	$\displaystyle -64$
$\displaystyle -64$	$=$	$\displaystyle 2x^5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -32$	$=$	$\displaystyle x^5$
	↓	Fünfte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Die Funktion $f (x)$ hat eine Nullstelle bei $x = - 2$ .

Besonderheit

Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen

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$f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4-7x^2+2$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle 3u^2-7u+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot3\cdot2}}{2\cdot3}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}$
	↓	Unter der Wurzel die Differenz bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{25}}{6}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm5}{6}$

Fall: $+$

$u_1=\dfrac{7+5}{6}=2$

Fall: $-$

$u_2=\dfrac{7-5}{6}=\dfrac{1}{3}$

Resubstitution

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$

Die Funktion hat $4$ Nullstellen, und zwar bei $x_1=\sqrt2,\;x_2=-\sqrt2,\;x_3=\sqrt{\frac13},\;x_4=-\sqrt{\frac13}$ .

Besonderheit

Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.

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$f\left(x\right)=-\frac12x^4-\frac72x^2+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^4-\frac{7}{2}x^2+6$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}u^2-\frac{7}{2}u+6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{(-\frac{7}{2})^2-4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot6}}{2\cdot(-\frac{1}{2})}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+12}}{-1}$
	↓	Unter der Wurzel die Summe bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\pm\sqrt{24{,}25}}{-1}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5+\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx-8{,}424$
	↓	Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Fall: -; Resubstitution
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{1{,}424}$

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_1=\sqrt{1{,}424}$ und $x_2=-\sqrt{1{,}424}$ .

Besonderheit

Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.

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$f\left(x\right)=\frac12x^4-8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle x^4$
	↓	Vierte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .

Besonderheit

Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen.

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$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4+10x^3+25x^2$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x^2(x^2+10x+25)$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Doppelte Nullstelle; Setze die Klammer gleich 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2+10x+25\right)$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot1\cdot25}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{0}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm0}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10}{2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Doppelte Nullstelle

Die Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und zwar jeweils bei $x_{1{,}2}=0$ und $x_{3{,}4}=-5$ .

Anwenden der 1. binomischen Formel für $x_{3{,}4}$

Wenn du es erkennst, kannst du statt der Mitternachtsformel auch die 1. binomische Formel verwenden:

$x^2+10x+25={\color{red}{x}}^2+2\cdot{\color{blue}{5}}\cdot {\color{red}{x}}+{\color{blue}{5}}^2=({\color{red}{x}}+{\color{blue}{5}})^2$

In dieser faktorisierten Darstellung des Terms kannst du direkt ablesen, dass bei $x = - 5$ eine doppelte Nullstelle liegt.

Besonderheit

Spezialfall: Eine Potenz von $x$ lässt sich ausklammern.

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Zunächst kannst du den Faktor $x^{2}$ ausklammern.

Danach kannst bei dieser Aufgabe die restlichen Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen oder du erkennst, dass du die 1. binomische Formel anwenden kannst und sparst dir so eine Menge Arbeit!

$f(x)=\frac12x^3-\frac14x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x$
	↓	x ausklammern
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\right)$
	↓	Klammer gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}$	$\displaystyle +\frac{1}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2$	$\displaystyle \cdot2\ oder\ :\frac{1}{2}$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \sqrt[2]{}$
	↓	Quadratwurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{1}{2}}\approx\pm0{,}71$

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_1=\sqrt{\frac12}$ und $x_2=-\sqrt{\frac12}$ .

Besonderheit

Spezialfall: Eine Potenz von $x$ lässt sich ausklammern.

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$f(x)=-\frac14x^3-16$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3-16$
	↓	Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3-16$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^3$	$\displaystyle :\left(-\frac{1}{4}\right)\ oder\ \cdot\left(-4\right)$
	↓	Brüche multiplizieren und dividieren
$\displaystyle -64$	$=$	$\displaystyle x^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x = - 4$ .

Besonderheit

Spezialfall: Alle Zwischenglieder fehlen.

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$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^5-5x^4-3x^3$
	↓	$x^{3}$ ausklammern
	$=$	$\displaystyle x^3\cdot\left(2x^2-5x-3\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
$\displaystyle \left(2x^2-5x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\ \frac{5\pm7}{4}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{5+7}{4}=3$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$

Die Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei $x_{1} = 0$ und jeweils eine einfache Nullstelle bei $x_{2} = 3$ und $x_3=-\frac12$

Besonderheit

Spezialfall: Eine Potenz von $x$ lässt sich ausklammern.

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$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-5x^2+4$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-5u+4$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle \frac{5+3}{2}=4$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{5-3}{2}=1$
	↓	Resubstitution
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$
$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei $x_1=2,\;x_2=-2,\;x_3=1$ und $x_{4} = - 1$ .

Besonderheit

Spezialfall: Funktion lässt sich auf eine quadratische Funktion zurückführen.

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Nullstellenbestimmung

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Nullstellenbestimmung

Resubstitution

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Nullstellenbestimmung

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Nullstellenbestimmung

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Nullstellenbestimmung

Anwenden der 1. binomischen Formel für x3,4x_{3{,}4}x3,4​

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Nullstellenbestimmung

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Nullstellenbestimmung

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Nullstellenbestimmung

Besonderheit

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Anwenden der 1. binomischen Formel für $x_{3{,}4}$