Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Bestimme mithilfe der Substitutionsmethode die Nullstellen von f.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Setze die Gleichung gleich $0$ .
$0 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Nun zur Substitution:
$0 = (x^{2})^{2} - 2 x^{2} - 8$
Substituiere: $z = x^{2}$ .
$0 = z^{2} - 2 z - 8$
Löse die so gewonnene Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$
$z_{1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$z_{2} = \frac{2 - 6}{2} = - 2$
Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$z = x^{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{z}$
Aus $z_{1} = 4$ folgt:
$x_{1,2} = \pm \sqrt{4} \Rightarrow x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$
Aus $z = - 2$ bekommt man keine Lösungen für $f (x) = 0$ , da man aus um auf $x$ zu kommen die Wurzel aus $- 2$ ziehen müsste. Aber man kann keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen!
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .
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$f (x) = \frac{1}{2} x^{6} + x^{3} - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f (x) = \frac{1}{2} x^{6} + x^{3} - 4$
Setzte die Gleichung gleich $0$ .
$0 = \frac{1}{2} x^{6} + x^{3} - 4$
Nun zur Substitution:
$0 = \frac{1}{2} (x^{3})^{2} + x^{3} - 4$
Substituiere: $u = x^{3}$ .
$0 = \frac{1}{2} u^{2} + u - 4$
Wende nun die Mitternachtsformel an um die Nullstellen der substituierten Gleichung zu berechnen.
$u_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (- 4)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$u_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{1}$
$u_{1,2} = - 1 \pm \sqrt{9}$
$u_{1,2} = - 1 \pm 3$
Berechne $u_{1}$ und $u_{2}$ .
$u_{1} = 2$ und $u_{2} = - 4$
Resubstitution
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$u = x^{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{u}$
$u_{1} = 2 \Leftrightarrow x_{1} = \sqrt[3]{2} \approx 1,26$
$u_{2} = - 4 \Leftrightarrow x_{2} = \sqrt[3]{- 4} \approx - 1,59$
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_{1} = \sqrt[3]{2}$ und $x_{2} = \sqrt[3]{- 4}$ .
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Nun zur Substitution:

Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:

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Nun zur Substitution:

Resubstitution

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