Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen.

$f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x^2\cdot(x+1)}$

$l(x)=\sqrt[3]{2x^2-8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$l(x)=\sqrt[3]{2x^2-8}=0$
Setze den Radikanden $2 x^{2} - 8$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2x^2-8&=&0&|+8\\2x^2&=&8&|:2\\x^2&=&4&|\sqrt{}\\x_{1{,}2}&=&\pm2\end{array}$
Die Funktion $l (x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
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$n(x)=\sqrt[6]{4x^3-20x^2+8x+32}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle n\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt [6]{4x^3-20x^2+8x+32}$
	↓	Setze den Radikanden $4 x^{3} - 20 x^{2} + 8 x + 32$ gleich Null.
$\displaystyle 4x^3-20x^2+8x+32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x^3-5x^2+2x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Finde eine Nullstelle durch Einsetzen einfacher Werte.

Finde die Nullstelle $x_{1} = - 1$ .

Führe mit dem zur Nullstelle $x_{1}$ gehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ die Polynomdivision durch.

$\hphantom{-}(x^3-5x^2+2x+8):(x+1)=x^2-6x+8$ $\underline{-(x^3+x^2)}$ $\hphantom{-(x^3}-6x^2+2x$ $\hphantom{(x^3}\underline{-(-6x^2-6x)}$ $\hphantom{-(x^3-6x^2-}\;8x+8$ $\hphantom{-(x^3-6x^2}\underline{-(8x+8)}$ $\hphantom{-(x^3-6x^2-(8x+}0$

Setze das erhaltene Polynom gleich Null.

$\displaystyle x^2-6x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Finde die beiden anderen Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot8}}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{4}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm2}{2}$

$x_2=\dfrac{6+2}{2}=\dfrac82=4$

$x_3=\dfrac{6-2}{2}=\dfrac42=2$

Die Funktion $n (x)$ hat drei Nulstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 4$ , $x_{3} = 2$ .

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$g(x)=\sin(2x+0{,}5\pi)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g(x)=\sin(2x+0{,}5\pi)=0$
Man weiß, dass $\sin(k\cdot\pi)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$ . Setze das Argument der Sinusfunktion also gleich $k\cdot\pi$ und löse nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2x+0{,}5\pi&=&k\cdot\pi&\;|-0{,}5\pi\\2x&=&k\cdot\pi-0{,}5\pi&|\cdot\frac12\\x&=&\frac12\cdot(k\cdot\pi-0{,}5\pi)&|\pi\;\text{ausklammern}\\x&=&\frac12\pi\cdot(k-0{,}5)\end{array}$
Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.
$N=\left\{\frac12\pi\cdot(k-0{,}5)\;|\;k\in \mathbb Z\right\}$
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$h(x)=\cos\left(\dfrac{x}{\pi}\right)$

$m(x)=\sqrt{\tan(x)}$

$i(x)=\ln\left(x^3+9\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$i(x)=\ln\left(x^3+9\right)=0$
Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument $x^{3} + 9$ gleich Eins und löse die Gleichung.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x^3+9&=&1&|-9\\x^3&=&-8&|\sqrt[3]{}\\x_1&=&-2\end{array}$
Die Funktion $i (x)$ hat eine Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ .
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$k(x)=\log_2\left(x^2+3x-3\right)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac{x^2-2x-8}{x^2\cdot\left(x+1\right)}$
	↓	Berechne die möglichen Nullstellen von $f (x)$ . Setze dazu das Zählerpolynom $p (x)$ gleich Null.
$\displaystyle p\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-2x-8$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8\right)}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm6}{2}$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(\frac{x}{\pi}\right)$
	↓	Man weiß, dass $\cos\left((2k-1)\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$ . Setze das Argument der Cosinusfunktion also gleich $(2k-1)\dfrac{\pi}{2}$ und löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \frac{x}{\pi}$	$=$	$\displaystyle \left(2k-1\right)\ \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \frac{x}{\pi}$	$=$	$\displaystyle \pi\ \frac{2k-1}{2}$	$\displaystyle \cdot\pi$
	↓	Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pi^2\ \frac{2k-1}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pi^2\left(k-0{,}5\right)$

$\displaystyle m\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\tan\left(x\right)}$
	↓	Setze den Radikanden $\tan(x)$ gleich Null.
$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	An der Definition der Tangensfunktion $\mathrm{tan}(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)}$ erkennt man, dass für $\tan(x)=0$ gelten muss: $\sin(x)=0$ . Es gilt also zur Nullstellenbestimmung:
$\displaystyle \tan\left(x_0\right)$	$=$	$\displaystyle \sin\left(x_0\right)$
	↓	Man weiß, dass $\sin(k\cdot\pi)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$ . Somit ist auch $\tan(k\cdot\pi)=0$ mit $k\in\mathbb{Z}$ . Stelle das Ergebnis mit einer Nullstellenmenge dar.

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \log_2\left(x^2+3x-3\right)$
	↓	Eine Logarithmusfunktion nimmt genau dann den Wert Null an, wenn ihr Argument 1 ist. Setze also das Argument $x^{2} + 3 x - 3$ gleich Eins und löse die Gleichung.
$\displaystyle x^2-3x-3$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2+3x-4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm5}{2}$