Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a} (x) = a x^{2} + 6 x - 3$ mit $a \neq 0$ .

Ermittle die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit des Parameters $a$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f_{a} (x)$ $=$ $a x^{2} + 6 x - 3$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$a x^{2} + 6 x - 3$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot a \cdot (- 3)}}{2 \cdot a}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 a}}{2 a}$
Dieser Term kann auch noch weiter gekürzt werden. Für die Bearbeitung dieser Aufgabe ist das jedoch nicht notwendig. Im Folgenden wird der Term noch weiter vereinfacht:
Unter der Wurzel kannst du die $4$ ausklammern.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{4 \cdot (9 + 3 a)}}{2 a}$
↓
4 aus der Wurzel kürzen.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{9 + 3 a}}{2 a}$
↓
2 ausklammern.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{2 \cdot (- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a})}{2 a}$
↓
Bruch kürzen.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$
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Bestimme $a$ so, dass es genau eine Nullstelle gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Aus Aufgabe $a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1,2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$ liegen.
Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.
$D$ $=$ $9 + 3 a$
↓
Setze die Diskriminante gleich Null.
$0$ $=$ $9 + 3 a$ $- 9$
$- 9$ $=$ $3 a$ $: 3$
$a$ $=$ $- 3$
DIe Funktion $f_{a} (x)$ hat für $a = - 3$ genau eine Nullstelle.
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Bestimme $a$ so, dass $x = - 1$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Aus Aufgabe $a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1,2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$ liegen.
Setze den Term gleich $- 1$ und löse die Gleichung.
$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$ $=$ $- 1$ $\cdot a$
$- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}$ $=$ $- a$ $+ 3$
$\pm \sqrt{9 + 3 a}$ $=$ $- a + 3$ ${()}^{2}$
$9 + 3 a$ $=$ $a^{2} - 6 a + 9$ $- (9 + 3 a)$
$0$ $=$ $a^{2} - 9 a$ $: a (möglich, da a \neq 0)$
$0$ $=$ $a - 9$ $+ 9$
$9$ $=$ $a$
Die Funktion $f_{a} (x)$ hat für $a = 9$ eine Nullstelle bei $x = - 1$ .
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$f_{a} (x)$	$=$	$a x^{2} + 6 x - 3$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$a x^{2} + 6 x - 3$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot a \cdot (- 3)}}{2 \cdot a}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 a}}{2 a}$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{4 \cdot (9 + 3 a)}}{2 a}$
	↓	4 aus der Wurzel kürzen.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{9 + 3 a}}{2 a}$
	↓	2 ausklammern.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{2 \cdot (- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a})}{2 a}$
	↓	Bruch kürzen.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$

$D$	$=$	$9 + 3 a$
	↓	Setze die Diskriminante gleich Null.
$0$	$=$	$9 + 3 a$	$- 9$
$- 9$	$=$	$3 a$	$: 3$
$a$	$=$	$- 3$

$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}}{a}$	$=$	$- 1$	$\cdot a$
$- 3 \pm \sqrt{9 + 3 a}$	$=$	$- a$	$+ 3$
$\pm \sqrt{9 + 3 a}$	$=$	$- a + 3$	${()}^{2}$
$9 + 3 a$	$=$	$a^{2} - 6 a + 9$	$- (9 + 3 a)$
$0$	$=$	$a^{2} - 9 a$	$: a (möglich, da a \neq 0)$
$0$	$=$	$a - 9$	$+ 9$
$9$	$=$	$a$

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