Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

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Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a} (x) = a x^{2} + 6 x - 3$ mit $a\neq0$ .

Ermittle die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit des Parameters $a$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f_a(x)$	$=$	$\displaystyle ax^2+6x-3$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle ax^2+6x-3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot a\cdot(-3)}}{2\cdot a}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6\pm\sqrt{36+12a}}{2a}$

Dieser Term kann auch noch weiter gekürzt werden. Für die Bearbeitung dieser Aufgabe ist das jedoch nicht notwendig. Im Folgenden wird der Term noch weiter vereinfacht:

Unter der Wurzel kannst du die $4$ ausklammern.

$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6\pm\sqrt{4\cdot(9+3a)}}{2a}$
	↓	4 aus der Wurzel kürzen.
$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6\pm2\sqrt{9+3a}}{2a}$
	↓	2 ausklammern.
$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\left(-3\pm\sqrt{9+3a}\right)}{2a}$
	↓	Bruch kürzen.
$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}$

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Bestimme $a$ so, dass es genau eine Nullstelle gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Aus Aufgabe $\mathrm a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}$ liegen.

Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 9+3a$
	↓	Setze die Diskriminante gleich Null.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 9+3a$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle -9$	$=$	$\displaystyle 3a$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -3$

DIe Funktion $f_{a} (x)$ hat für $a = - 3$ genau eine Nullstelle.

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Bestimme $a$ so, dass $x = - 1$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Aus Aufgabe $\mathrm a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}$ liegen.

Setze den Term gleich $- 1$ und löse die Gleichung.

$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{9+3a}}{a}$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle -3\pm\sqrt{9+3a}$	$=$	$\displaystyle -a$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle \pm\sqrt{9+3a}$	$=$	$\displaystyle -a+3$	$\displaystyle \left(\right)^2$
$\displaystyle 9+3a$	$=$	$\displaystyle a^2-6a+9$	$\displaystyle -(9+3a)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a^2-9a$	$\displaystyle :a\;(\text{möglich, da} \:a\neq0)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a-9$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle a$

Die Funktion $f_{a} (x)$ hat für $a = 9$ eine Nullstelle bei $x = - 1$ .

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