Anzahl der ungeraden Zahlen zwischen $00$ und $100100$

Es gibt $101101$ Zahlen zwischen $00$ und $100100$. Denn es gibt $100100$ Zahlen zwischen $11$ und $100100$ und mit der $00$ sind es dann $101101$. Die Null ist eine gerade Zahl. Und in den Zahlen von $11$ bis $100100$ ist jede zweite Zahl ungerade $(\mathbf{\text{1}},2,\mathbf{\text{3}},4,\mathbf{\text{5}},6,\mathbf{\text{7}},8,\mathbf{\text{9}},\dots )(\backslash textbf1,\; 2,\; \backslash textbf3,\; 4,\; \backslash textbf5,\; 6,\; \backslash textbf7,\; 8,\; \backslash textbf9,\; \backslash ldots)$. Das heißt es gibt $100:2=50100\; :\; 2\; =\; 50$ ungerade Zahlen zwischen $00$ und $100100$.

Berechnung der Summe

Diese $5050$ ungeraden Zahlen kannst du in $50:2=2550\; :\; 2\; =\; 25$ Paare zusammenfassen, und zwar am Besten nach folgendem Schema:

Wie du siehst, sind die Zahlen so gepaart, dass jedes Mal $100100$ rauskommt, wenn man sie addiert. $(1+99=100,3+97=100,5+95=100,\dots )(1\; +\; 99\; =\; 100,\; \backslash quad\; 3\; +\; 97\; =\; 100,\backslash quad\; 5\; +\; 95\; =\; 100,\backslash quad\; \backslash ldots)$.

Wenn du nun die Summe $1+3+5+\dots +95+97+991\; +\; 3\; +\; 5\; +\; \backslash ldots\; +\; 95\; +\; 97\; +\; 99$ so umordnest, dass jeweils die Paare wie oben zusammenstehen, kannst du das Ergebnis ausrechnen:

Die Summe aller ungeraden Zahlen zwischen $00$ und $100100$ beträgt also $25002500$.