Die Vierfeldertafel ist ein Hilfsmittel in der Stochastik/23455, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen darzustellen.

An ihr kann man neue Informationen (zum Beispiel Wahrscheinlichkeiten/1753) ablesen.Die Vierfeldertafel hilft auch die Unabhängigkeit von Ereignissen/1977 zu untersuchen.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{P(A\cap B}) & \mathrm{P(\overline A\cap B}) & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{P(A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}$$

Allgemeine Form

Im Folgenden werden die Einträge der Vierfeldertafel erklärt. Die Buchstaben $\text{A}$ und $\text{B}$ bezeichnen dabei zwei Ereignisse/1505. $\overline{\text{A}}$ und $\overline{\text{B}}$ stehen für ihre Gegenereignisse/1691.

Beschriftung

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline B})} \\\hline\ & & & \\\end{array}$$

In der ersten Zeile stehen die Symbole für das Ereignis $\text{A}$ und sein Gegenereignis, in der ersten Spalte die Symbole für das Ereignis $\text{B}$ und sein Gegenereignis.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \mathrm{P(\overline B})\\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}$$

• In der letzten Zeile stehen unter dem entsprechenden Symbol die Wahrscheinlichkeit/1753 für das Ereignis $\text{A}$ bzw. sein Gegenereignis.

• In der letzten Spalte stehen entsprechend die Wahrscheinlichkeiten von $\text{B}$ bzw. $\overline{\text{B}}$.

• Die Werte in der letzten Zeile bzw. in der letzten Spalte müssen sich jeweils immer zu 1 addieren.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{P(A\cap B}) & \mathrm{P(\overline A\cap B}) & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{P(A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}$$

• In die restlichen vier Felder notiert man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $\text{A}\cap\text{B}$, $\overline{\text{A}}\cap\text{B}$, $\text{A}\cap\overline{\text{B}}$, $\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}}$.

• Dabei ist die letzte Wahrscheinlichkeit in einer Zeile die Summe der anderen beiden. Zum Beispiel $\mathrm{P(B)} = \mathrm{P(\text{A}\cap\text{B})}+ \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}.$

• Dasselbe gilt für die letzte Wahrscheinlichkeit einer Spalte. Zum Beispiel $\mathrm{P(\overline{A})} = \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}+ \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}})}.$

Eigenschaften und Rechenregeln

Wie man oben bereits gesehen hat, gilt in einer Vierfeldertafel:

• Jede Wahrscheinlichkeit in der untersten Zeile ist die Summe/1495 der beiden Wahrscheinlichkeiten darüber.

• Jede Wahrscheinlichkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten links davon.

• Die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe 1 ergeben.

Bemerkung: Statt Wahrscheinlichkeiten, kann man auch die absoluten Häufigkeiten/1667 oder auch Prozentwerte/1627 der jeweiligen Ereignissen in eine Vierfeldertafel eintragen.

In solchen Fällen muss nicht mehr 1 als Summe herauskommen, sondern die absolute Häufigkeit bzw. $100\%$.

Zusammenhang zur bedingten Wahrscheinlichkeit

• Man kann mit Hilfe der Werte aus der Vierfeldertafel bedingte Wahrscheinlichkeiten/1973 berechnen.

• Umgekehrt kann man auch durch die Angabe der bedingten Wahrscheinlichkeit Werte für die Vierfeldertafel berechnen.

$\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=P_B(A)$

$P(A\cap B)=P_B(A)\cdot P(B)$

Zusammenhang zur Unabhängigkeit von Ereignissen

Will man untersuchen ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so kann man dies mithilfe einer Vierfeldertafel ganz schnell überprüfen.

Man muss dafür nur prüfen:

• ist $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ ?

• ist $P(A\cap \overline{B}) = P(A)\cdot P(\overline{B})$ ?

• ist $P(\overline{A}\cap B) = P(\overline{A})\cdot P(B)$ ?

• ist $P(\overline{A}\cap \overline{B}) = P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$ ?

Das hier sind genau die Wahrscheinlichkeiten der inneren vier Felder der Tafel! (daher auch der Name.)

Wenn (mindestens) eine dieser Gelichungen verletzt ist sind $A$ und $B$ stochastisch abhängig. Sonst sind sie stochastisch unabhängig.

Beispiele

Aufgabe

Die 16 Jungen und 14 Mädchen einer Schulklasse nehmen an einem Mathematik-Test teil. 13 Jungen bestehen. Insgesamt bestehen 20 Schüler den Test. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler den Test nicht bestanden und ist gelichzeitig ein Mädchen?

Lösung

Die beiden Ereignisse sind

1. Schüler ist ein Junge $\text{J}$, oder ein Mädchen (= "nicht Junge) $\overline{\text{J}}$

2. Test bestanden $\text{B}$, Test nicht bestanden $\overline{\text{B}}$

Aus dem Text lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P\left(J\cap B\right)$ , $P\left(B\right)$ , $P\left(J\right)$ sowie $P(\overline{B})$ bestimmen.

Insgesamt befinden sich 30 SchülerInnen in der Klasse. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist dessen relative Häufigkeit/1503.

Die zugehörige Vierfeldertafel wird nun aufgestellt:

Zuerst fertigt man eine Vierfeldertafel an, beschriftet Zeilen und Spalten und trägt die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ein.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text{J}} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \ & \frac{20}{30} \\\hline\mathrm{\overline B} &\vphantom{\dfrac{1}{2}} \ & \ & \ \\\hline\ & \frac{16}{30} & \frac{14}{30} & 1 \\\end{array}$$

Um die fehlenden Werte zu bestimmen benutzt man die Eigenschaften und Rechenregeln von oben.

Den fehlenden Wert in der zweiten Zeile zum Beispiel wird berechnet als: $\dfrac{20}{30}-\dfrac{13}{30}=\dfrac{7}{30}$

Die Werte in der dritten Zeile ergeben sich dann durch ähnliche Rechnungen.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text J} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \frac{7}{30} & \frac{2}{3} \\\hline\mathrm{\overline B} & \frac{1}{10} & \frac{7}{30} & \frac13 \\\hline\ & \frac{8}{15} & \frac{7}{15} & 1 \\\end{array}$$

Daraus lässt sich leicht die Wahrscheinlichkeit  $P($nicht bestanden und nicht Junge$)$ $=P(\overline B\cap \overline J)=\frac7{30}$  (3. Zeile, 3. Spalte) ermitteln. Diese ist die gesuchte Lösung.

Mit absoluten Häufigkeiten würde diese Vierfeldertafel so aussehen:

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text J} & \ \\\hline\mathrm{B} & 13 & 7 &20 \\\hline\mathrm{\overline B} & 3 & 7 & 10 \\\hline\ & 16 & 14 & 30 \\\end{array}$$