Die Vierfeldertafel ist ein Hilfsmittel in der Stochastik, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen darzustellen.

An ihr kann man neue Informationen (zum Beispiel Wahrscheinlichkeiten) ablesen.Die Vierfeldertafel hilft auch die Unabhängigkeit von Ereignissen zu untersuchen.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{P(A\cap B}) & \mathrm{P(\overline A\cap B}) & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{P(A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}$$

Allgemeine Form

Im Folgenden werden die Einträge der Vierfeldertafel erklärt. Die Buchstaben $\text{A}\backslash text\{A\}$ und $\text{B}\backslash text\{B\}$ bezeichnen dabei zwei Ereignisse. $\bar{\text{A}}\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}$ und $\bar{\text{B}}\backslash overline\{\backslash text\{B\}\}$ stehen für ihre Gegenereignisse.

Beschriftung

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline B})} \\\hline\ & & & \\\end{array}$$

In der ersten Zeile stehen die Symbole für das Ereignis $\text{A}\backslash text\{A\}$ und sein Gegenereignis, in der ersten Spalte die Symbole für das Ereignis $\text{B}\backslash text\{B\}$ und sein Gegenereignis.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \mathrm{P(\overline B})\\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}$$

• In der letzten Zeile stehen unter dem entsprechenden Symbol die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\text{A}\backslash text\{A\}$ bzw. sein Gegenereignis.

• In der letzten Spalte stehen entsprechend die Wahrscheinlichkeiten von $\text{B}\backslash text\{B\}$ bzw. $\bar{\text{B}}\backslash overline\{\backslash text\{B\}\}$.

• Die Werte in der letzten Zeile bzw. in der letzten Spalte müssen sich jeweils immer zu 1 addieren.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{P(A\cap B}) & \mathrm{P(\overline A\cap B}) & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{P(A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}$$

• In die restlichen vier Felder notiert man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $\text{A}\cap \text{B}\backslash text\{A\}\backslash cap\backslash text\{B\}$, $\bar{\text{A}}\cap \text{B}\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}\backslash cap\backslash text\{B\}$, $\text{A}\cap \bar{\text{B}}\backslash text\{A\}\backslash cap\backslash overline\{\backslash text\{B\}\}$, $\bar{\text{A}}\cap \bar{\text{B}}\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}\backslash cap\backslash overline\{\backslash text\{B\}\}$.

• Dabei ist die letzte Wahrscheinlichkeit in einer Zeile die Summe der anderen beiden. Zum Beispiel $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\text{A}\cap \text{B})+\mathrm{P}(\bar{\text{A}}\cap \text{B})\mathrm{.}\backslash mathrm\{P(B)\}\; =\; \backslash mathrm\{P(\backslash text\{A\}\backslash cap\backslash text\{B\})\}+\; \backslash mathrm\{P(\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}\backslash cap\backslash text\{B\})\}.$

• Dasselbe gilt für die letzte Wahrscheinlichkeit einer Spalte. Zum Beispiel $\mathrm{P}(\bar{\mathrm{A}})=\mathrm{P}(\bar{\text{A}}\cap \text{B})+\mathrm{P}(\bar{\text{A}}\cap \bar{\text{B}})\mathrm{.}\backslash mathrm\{P(\backslash overline\{A\})\}\; =\; \backslash mathrm\{P(\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}\backslash cap\backslash text\{B\})\}+\; \backslash mathrm\{P(\backslash overline\{\backslash text\{A\}\}\backslash cap\backslash overline\{\backslash text\{B\}\})\}.$

Eigenschaften und Rechenregeln

Wie man oben bereits gesehen hat, gilt in einer Vierfeldertafel:

• Jede Wahrscheinlichkeit in der untersten Zeile ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten darüber.

• Jede Wahrscheinlichkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten links davon.

• Die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe 1 ergeben.

Bemerkung: Statt Wahrscheinlichkeiten, kann man auch die absoluten Häufigkeiten oder auch Prozentwerte der jeweiligen Ereignissen in eine Vierfeldertafel eintragen.

In solchen Fällen muss nicht mehr 1 als Summe herauskommen, sondern die absolute Häufigkeit bzw. $100\mathrm{\%}100\backslash \%$.

Zusammenhang zur bedingten Wahrscheinlichkeit

• Man kann mit Hilfe der Werte aus der Vierfeldertafel bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.

• Umgekehrt kann man auch durch die Angabe der bedingten Wahrscheinlichkeit Werte für die Vierfeldertafel berechnen.

${\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}=P_B(A)\backslash dfrac\{P(A\backslash cap\; B)\}\{P(B)\}=P\_B(A)$

$P(A\cap B)=P_B(A)\cdot P(B)P(A\backslash cap\; B)=P\_B(A)\backslash cdot\; P(B)$

Zusammenhang zur Unabhängigkeit von Ereignissen

Will man untersuchen ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so kann man dies mithilfe einer Vierfeldertafel ganz schnell überprüfen.

Man muss dafür nur prüfen:

• ist $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)P(A\backslash cap\; B)\; =\; P(A)\backslash cdot\; P(B)$ ?

• ist $P(A\cap \bar{B})=P(A)\cdot P(\bar{B})P(A\backslash cap\; \backslash overline\{B\})\; =\; P(A)\backslash cdot\; P(\backslash overline\{B\})$ ?

• ist $P(\bar{A}\cap B)=P(\bar{A})\cdot P(B)P(\backslash overline\{A\}\backslash cap\; B)\; =\; P(\backslash overline\{A\})\backslash cdot\; P(B)$ ?

• ist $P(\bar{A}\cap \bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})P(\backslash overline\{A\}\backslash cap\; \backslash overline\{B\})\; =\; P(\backslash overline\{A\})\backslash cdot\; P(\backslash overline\{B\})$ ?

Das hier sind genau die Wahrscheinlichkeiten der inneren vier Felder der Tafel! (daher auch der Name.)

Wenn (mindestens) eine dieser Gelichungen verletzt ist sind $AA$ und $BB$ stochastisch abhängig. Sonst sind sie stochastisch unabhängig.

Beispiele

Aufgabe

Die 16 Jungen und 14 Mädchen einer Schulklasse nehmen an einem Mathematik-Test teil. 13 Jungen bestehen. Insgesamt bestehen 20 Schüler den Test. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler den Test nicht bestanden und ist gelichzeitig ein Mädchen?

Lösung

Die beiden Ereignisse sind

1. Schüler ist ein Junge $\text{J}\backslash text\{J\}$, oder ein Mädchen (= "nicht Junge) $\bar{\text{J}}\backslash overline\{\backslash text\{J\}\}$

2. Test bestanden $\text{B}\backslash text\{B\}$, Test nicht bestanden $\bar{\text{B}}\backslash overline\{\backslash text\{B\}\}$

Aus dem Text lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P(J\cap B)P\backslash left(J\backslash cap\; B\backslash right)$ , $P\left(B\right)P\backslash left(B\backslash right)$ , $P\left(J\right)P\backslash left(J\backslash right)$ sowie $P(\bar{B})P(\backslash overline\{B\})$ bestimmen.

Insgesamt befinden sich 30 SchülerInnen in der Klasse. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist dessen relative Häufigkeit.

Die zugehörige Vierfeldertafel wird nun aufgestellt:

Zuerst fertigt man eine Vierfeldertafel an, beschriftet Zeilen und Spalten und trägt die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ein.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text{J}} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \ & \frac{20}{30} \\\hline\mathrm{\overline B} &\vphantom{\dfrac{1}{2}} \ & \ & \ \\\hline\ & \frac{16}{30} & \frac{14}{30} & 1 \\\end{array}$$

Um die fehlenden Werte zu bestimmen benutzt man die Eigenschaften und Rechenregeln von oben.

Den fehlenden Wert in der zweiten Zeile zum Beispiel wird berechnet als: ${\displaystyle \frac{20}{30}}-{\displaystyle \frac{13}{30}}={\displaystyle \frac{7}{30}}\backslash dfrac\{20\}\{30\}-\backslash dfrac\{13\}\{30\}=\backslash dfrac\{7\}\{30\}$

Die Werte in der dritten Zeile ergeben sich dann durch ähnliche Rechnungen.

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text J} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \frac{7}{30} & \frac{2}{3} \\\hline\mathrm{\overline B} & \frac{1}{10} & \frac{7}{30} & \frac13 \\\hline\ & \frac{8}{15} & \frac{7}{15} & 1 \\\end{array}$$

Daraus lässt sich leicht die Wahrscheinlichkeit  $P(P($nicht bestanden und nicht Junge$))$ $=P(\bar{B}\cap \bar{J})=\frac{7}{30}=P(\backslash overline\; B\backslash cap\; \backslash overline\; J)=\backslash frac7\{30\}$  (3. Zeile, 3. Spalte) ermitteln. Diese ist die gesuchte Lösung.

Mit absoluten Häufigkeiten würde diese Vierfeldertafel so aussehen:

$$\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text J} & \ \\\hline\mathrm{B} & 13 & 7 &20 \\\hline\mathrm{\overline B} & 3 & 7 & 10 \\\hline\ & 16 & 14 & 30 \\\end{array}$$