Aufgaben zu Funktionen und Relationen

Zeichne die Graphen folgender Relationen und untersuche, ob es sich um Funktionen handelt:

Die folgende Relation $R \subseteq ℕ \times ℕ$ ist folgendermaßen definiert:
$R = {(x, y) | y$ ist Nachfolger von $x}$
Ist $R$ eine Funktion?
- Ja
- Nein
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Ja, denn jedes Element $n \in ℕ$ hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger. Zum Beispiel hat die natürliche Zahl 1 den Nachfolger 2, die 2 die 3 usw.
Die Relation $R \in ℕ \times ℕ$ ist folgendermaßen definiert:
$R = {(x, y) | y$ ist Vorgänger von $x}$
Ist R eine Funktion?
- Ja
- Nein
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relationen
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Nein, R ist keine Funktion. Denn die Zahl 1 hat keinen Vorgänger. Die Funktion ist also nicht total definiert.
$f = {(x | y) | x^{2} + y^{2} = 4 \land x \in [- 2; 2]}$
Ist $f$ eine Funktion?
- Ja
- Nein
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relationen
Dies ist ein Kreis um (0|0) mit Radius r = 2. Deshalb gibt es für x= 0 zwei y-Werte, woraus folgt, dass f keine Funktion ist.
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$f = [2; 5 [\times] 1; 3]$
Ist $f$ eine Funktion?
- Ja
- Nein
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Wäre f eine Funktion, müsste es für jedes x genau ein y geben. Hier ist das Kreuzprodukt zweier Mengen gegeben. Beim Kreuzprodukt wird jedes x mit jedem y kombiniert, also gibt es für jedes x mehrere y.
Es ist also eine Relation, aber keine Funktion.
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